Engenharia

Capítulo 5

DERIVADAS PARCIAIS
5.1 Introdução
Definição 5.1. Sejam A ⊂ R3 um conjunto aberto e f : A −→ R uma função. 1. A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂x f (x + t, y, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂x t se o limite existe. 2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂y f (x, y + t, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂y t se o limite existe. 3. A derivada parcial de f em relação à variável z, no ponto (x, y, z) ∈ A é ∂f (x, y, z) e definida por: denotada por ∂z f (x, y, z + t) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂z t se o limite existe. De forma análoga são definidas as derivadas parciais para funções de duas variáveis. Observe que o conjunto A deve ser aberto, pois para todo x ∈ A é necessário que x + t ei ∈ A, onde i = 1, 2, 3; o que é verdadeiro se |t| < η (η > 0 pequeno). Veja a bibliografia.

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90 Exemplo 5.1.

CAPÍTULO 5. DERIVADAS PARCIAIS

[1] Se z = f (x, y) = x y, calcule suas derivadas parciais. Estamos no caso n = 2: ∂f f (x + t, y) − f (x, y) (x + t) y − x y ty (x, y) = lim = lim = lim = y, t−→0 t−→0 t−→0 t ∂x t t f (x, t + y) − f (x, y) x (t + y) − x y tx ∂f (x, y) = lim = lim = lim = x. t−→0 t−→0 t−→0 t ∂y t t [2] Se w = f (x, y, z) = x2 y z 2 , calcule suas derivadas parciais. Estamos no caso n = 3: ∂f f (x + t, y, z) − f (x, y, z) (x + t)2 y z 2 − x2 y z 2 (x, y, z) = lim = lim t−→0 t−→0 ∂x t t 2 x y z 2 t + t2 yz 2 = 2 x y z2, = lim t−→0 t ∂f f (x, t + y, z) − f (x, y, z) x2 (t + y) z 2 − x2 y z 2 (x, y, z) = lim = lim t−→0 t−→0 ∂y t t 2 z2 tx = lim = x2 z 2 , t−→0 t f (x, y, t + z) − f (x, y, z) x2 y (t + z)2 − x2 y z 2 ∂f (x, y, z) = lim = lim t−→0 t−→0 ∂z t t t2 x2 y + 2 t x2 y z = 2 x2 y z. = lim t−→0 t Observação 5.1. Seja y = c, fixado e consideremos g(x) = f (x, c); logo: g(x + t) − g(x) f (x + t, c) − f (x, c) ∂f = lim = (x, c); t−→0 t−→0 t t ∂x se h(y) = f