Engenharia

Sejam os vetores de S: v1 = (4y1; y1; 0) e v2 = (4y2; y2; 0) e número α real:
i)v1+ v2 = (4y1; y1; 0) + (4y2; y2; 0) = (4y1+ 4y2; y1+ y2; 0) = (4(y1+y2); y1+ y2; 0) ЄR3 ii)αv1 = α(4y1; y1; 0) = (4αy1; α y1; 0) ЄR3.
Logo o conjunto S acima é subespaço vetorial de R3.

3)Determinar a dimensão e criar uma base para os espaços vetoriais:
a) {(x, y, z) | y = 2x}
Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto: (x; 2x; z). tem-se:
• Dimensão = 2 (número de variáveis do vetor genérico).
• Base: já que a dimensão é 2, então uma base desse espaço vetorial tem 2 vetores. Então cria-se dois vetores particulares a partir do genérico:
Para x = 1 e z = 2 ==> v1 = (1, 2, 2). Para x = 4 e z = 5 ==> v2 = (4; 8, 5) E uma base é B = {v1; v2} = {(1; 2; 2), (4; 8; 5)}

b){(x, y, z) | x = 3y e z = -y}
De forma semelhante, tem-se:
Resp. Seja o vetor genérico desse conjunto: (3y; y; -y). tem-se:
• Dimensão = 1 (número de variáveis do vetor genérico).
• Base: já que a dimensão é 1, então uma base desse espaço vetorial tem 1 vetor. Então cria-se um vetor particular a partir do genérico:
Para y = 1 ==> v = (3; 1; -1) E uma base é B = {v} = {(3; 1; -1)}

4)Mostrar que S = {(x, y; z) | y = x +3 e z = 0} não é um subespaço vetorial de R3, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.
Resp.: Sejam os vetores de S: v1 = (x1; x1+3; 0) e v2 = (x2; x2+3; 0). Tem-se:
i)v1+v2 = (x1; x1+3; 0) + (x2; x2+3; 0) = (x1+x2; x1+x2+6; 0) S Então o conjunto S acima não é subespaço vetorial de R3.

5)Escrever o vetor w = (7, –11, 2) como combinação linear dos vetores u = (2, -3, 2) e v = (-1, 2, 4).
Resp.: Assim: a(2, -3, 2) + b(-1, 2, 4) = (7, -11, 2) ==> (2a – b, -3a+2b, 2a + 4b) = (7, -11, 2)
O que fornece o sistema linear cuja resolução fornece: Então w = 3u – v

6)Conceituar:
a)Igualdade de matrizes.
Resp. Duas matrizes de mesma ordem são iguais se os termos de mesma posição são iguais.
Ou: As matrizes