Engenharia

Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Departamento de F´ ısica Te´rica o Autor
Jim Skea
Data 22 mar¸o 2011 c Nota¸˜o indicial; A conven¸˜o de Soma de Einstein; Delta de Kr¨necker ca ca o 1 Em R3 escreva, por extenso, o conjunto de equa¸oes representado pela equa¸ao indicial c˜ c˜
Cij = Aik Bkj e mostre que o conjunto ´ igual `s equa¸oes que obtemos expandindo o produto matricial C=AB. e a c˜ Colocando explicitamente s somat´rio indicado pelo ´ o ındice mudo, k, a equa¸˜o ´ ca e
3

Cij =

Aik Bkj . k=1 Abrindo o somat´rio temos o Cij = Ai1 B1j + Ai2 B2j + Ai3 B3j ,

(i, j = 1, 2, 3).

Colocando todas as poss´ ıveis combina¸˜es dos ´ co ındices i e j temos
(i = 1, j = 1) C11 = A11 B11 + A12 B21 + A13 B31 ,
(i = 1, j = 2) C12 = A11 B12 + A12 B22 + A13 B32 ,
(i = 1, j = 3) C13 = A11 B13 + A12 B23 + A13 B33 ,
(i = 2, j = 1) C21 = A21 B11 + A22 B21 + A23 B31 ,
(i = 2, j = 2) C22 = A21 B12 + A22 B22 + A23 B32 ,
(i = 2, j = 3) C23 = A21 B13 + A22 B23 + A23 B33 ,
(i = 3, j = 1) C31 = A31 B11 + A32 B21 + A33 B31 ,
(i = 3, j = 2) C32 = A31 B12 + A32 B22 + A33 B32 ,
(i = 3, j = 3) C33 = A31 B13 + A32 B23 + A33 B33 .
2 Escreva, por extenso, as express˜es ao abrir os seguintes somat´rios: o o
(a) ai1 b1i num espa¸o de dimens˜o 4 c a
Colocando o somat´rio o 4

ai1 b1i i=1 Abrindo o somat´rio vem o a11 b11 + a21 b12 + a31 b13 + a14 b41 .
(b) a1i b1i num espa¸o de dimens˜o 6 c a
Colocando o somat´rio o 6

a1i b1i i=1 Abrindo o somat´rio vem o a11 b11 + a12 b12 + a13 b13 + a14 b41 + a15 b51 + a16 b61 .

3 Escreva explicitamente os somat´rios ci (xi + yi ) e cj xj + ck yk para um espa¸o de dimens˜o 3 e compare o c a os resultados.
O primeiro somat´rio ´ o e
3

ci (xi + yi ) = c1 (x1 + y1 ) + c2 (x2 + y2 ) = c3 (x3 + y3 ). i=1 O segundo ´ e 3

3

cj x j + j=1 ck yk = c1 x1 + c2 x2 + c3 x3 + c1 y1 + c2 y2 + c3 y3 . k=1 Os resultados s˜o iguais. Podemos demonstrar