Engenharia

2ª Lista de Exercícios de Matemática II
1-) Para as integrais abaixo calcule – as utilizando o método da integração por partes a) ∫xe-2x dx u = x du = 1 dv = e-2x v = -2 e-2x

∫udv = uv -∫vdu
∫udv = x.(-2e-2x) -∫-2e-2x .1dx
∫udv = -x.2e-2x +2 ∫e-2xdx
∫udv = -x. 2e-2x +2(-2e-2x) + c
∫udv = -x. 2e-2x -4e-2x + c
∫udv = -x/(2e2x) – 1/(4e2x)+ c
∫udv = - e-2x (x/2 + ¼)+ c

b) ∫x²exdx u = x² du = 2x dv = ex v = ex

∫udv = uv -∫vdu
∫udv = x²ex -∫ex2xdx
∫udv = x²ex -2∫exxdx

2ª Parte
∫exxdx
u = x du = 1 dv = ex v = ex

∫udv = uv -∫vdu
∫udv = xex -∫ex.1dx
∫udv = xex -∫exdx
∫udv = xex -ex

Substituindo
∫udv = x²ex -2(xex -ex)
∫udv = x²ex -2(xex -ex)
∫udv = x²ex -2xex + 2ex + C

c) ∫xsen(3x)dx u = x du = 1 dv = sem(3x) v = -cos(3x) / 3

∫udv = x[-cos(3x) /3 - ∫-cos(3x).1dx /3
∫udv = -xcos(3x) /3 +1/3∫cos(3x)dx
∫udv = -xcos(3x) /3 +1/3(sen(3x) / 3)
∫udv = -xcos(3x) /3 + sen(3x) / 9 + C

d) ∫x²cosxdx u = x² du = 2x dv = cosx v = senx

∫udv = uv -∫vdu
∫udv = x²senx -∫senx.2xdx
∫udv = x²senx -2∫xsenxdx

2ª Parte
∫xsenxdx
u = x du = 1 dv = senx v = -cosx

∫udv = -xcosx -∫-cosx.1dx
∫udv = -xcosx + senx

Substituindo
∫udv = x²senx -2(-xcosx + senx)
∫udv = x²senx + 2xcosx -2senx + c

e) xln xdx= u = ln x du = ½ dx dv = xdx V= x2/2 dx

uv - vdu= x2 ln x/2 - x22 . 1x dx x² ln x - x² + c 2 4

2-) Encontre o volume do sólido quando a região sob a curva y = √x e acima do intervalo [1, 4] é gerada em torno do eixo x.

V = ∫π[f(x)]²dx V = ∫π[√x]²dx V = π∫xdx πx²/2 1|4 π(4)²/2 – π(1)²/2 8π – π/2 15π/2

3-) Obtenha a fórmula para o volume de uma esfera de raio r. x² + y² = r² f(x) = √(r² - x²) V = ∫π[f(x)]²dx V = ∫π[√(r² - x²)]²dx V = π∫r²dx - ∫x²dx π[r²x – x³/3] -r|r π[r².r – r³/3] – π[r²(-r) – (-r³)/3] πr³ - πr³/3 + πr³ - πr³/3 2πr³ - 2πr³/3 (6πr³ - 2πr³)/3 4πr³/3

4-) Encontre o volume do sólido gerado quando a região entre os