engenharia eletrica

ÁREA

O problema de determinar a área de uma figura plana foi, desde os tempos mais antigos, uma preocupação dos matemáticos. O procedimento mais utilizado foi o método exaustão, que consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas.

Uma definição de Área: Dada uma função contínua não-negativa y = f(x), num intervalo [a,b]. A área da região R limitada abaixo pelo eixo x, lateralmente pelas retas x = a, y = b e acima pela curva y = f(x).

Para calcular a área da região R, usaremos a seguinte
Idéia básica:
Dividir o intervalo [a,b] em n subintervalos iguais;
Em cada subintervalo, construir um retângulo cuja altura é o valor de f em algum ponto do subintervalo;
A união desses retângulos forma uma região Rn, cuja
Área pode ser vista como uma aproximação da área
A da região R.
Repetir o processo usando cada vez mais um número maior de subdivisões;
Definir a área de R como sendo o limite das áreas das regiões aproximantes Rn, isto é:

A = área (R) =
Definindo como o comprimento de cada subintervalo, e f(xk) a altura do k-ésimo retângulo no intervalo, então a área de cada intervalo será:
Ak = f(xk)x E a área total da região Rn será:

Com esta notação a área sob a curva y = f(x), de a até b, é definida por:

O limite acima é geralmente, difícil ou impossível de ser encontrado, de modo que, quando necessária uma área exata devemos utilizar a seguinte definição.

INTEGRAL DEFINIDA

Definição: Seja f uma função definida no intervalo [a,b] e seja P uma partição qualquer de [a,b]. A integral definida de f de a até b, denotada por: é dada por , desde que o limite exista.
Denominada Integral de Riemann, onde a e b são chamados limites de integração. Quando a função f(x) é contínua e não negativa em [a,b], a definição da integral definida coincide com a definição da área. Portanto, neste caso a integral definida acima é a área da região sob o gráfico de f de a até b. Sempre que