Engenharia Civil

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
CURSO DE TECNOLOGIA EM GEOPROCESSAMENTO
MATEMÁTICA APLICADA B – Profª. Ana Carolina

Inversão de Matrizes
Setembro/14

Matriz Inversa, singular e não-singular
Matriz inversa
• Dada uma matriz quadrada A, de ordem n, se existir uma matriz quadrada B, de mesma ordem, que satisfaça à condição: AB = BA = I, B é inversa de A e se representa por 𝐴−1 . Logo, A𝐴−1 = 𝐴−1 A = I
Matriz singular e matriz não singular
• Uma matriz quadrada cujo determinante é nulo é uma matriz singular e não tem inversa.
• Uma matriz quadrada cujo determinante é diferente de zero é uma matriz não singular ou regular. Esse tipo sempre tem inversa.

Propriedades da matriz inversa
• I) Se a matriz admite inversa (det A ≠ 0), esta é única.
• II) Se a matriz A é não singular, sua inversa 𝐴−1 também é. A matriz inversa de 𝐴−1 é A.
• III) A matriz unidade I é não singular (det I = 1) e é a sua própria inversa: I =
𝐼 −1 .
• IV) Se a matriz A é não singular, sua transposta 𝐴𝑇 também é. A matriz inversa de 𝐴𝑇 é (𝐴−1 )𝑇 .
• V) Se as matrizes A e B são não singulares e de mesma ordem, o produto AB é uma matriz não singular. A matriz inversa de AB é a matriz 𝐴−1 𝐵 −1 .

Exemplos e exercícios:
1) Verificar se a matriz C é inversa de A.

8 5
2 −5
A=
𝑒 C=
3 2
−3 8
R: é inversa
2) Verificar se a matriz F é inversa de B.
9 7
4 −7
B=
𝑒 C=
−5 3
5 4
R: é inversa

Exemplos e exercícios:
3) Efetuar o produto das matrizes A e B.
97 76
R:
37 29
4) Efetuar o produto das matrizes 𝐵 −1 e 𝐴−1 .
29 −76
R:
−37 97
5) Se o produto das matrizes AB e 𝐵 −1 𝐴−1 for igual a I, então o 𝐵 −1 𝐴−1 é inversa de AB. Verifique.
R: é inversa
6) Determinar a matriz inversa da matriz dada:

a)

2 1 3/11 −1/11
A=
=
−5 3 5/11 2/11

1
0
0
1 0 0
0
−1/2
0
b) B = 0 −2 0 =
−1/3
0
1/3
1 0 3

2/5 1/5 1/5
1 2 −1
c) = 0 −3 2 = 6/5 3/5 −2/5
9/5 7/5 −3/5
3 −1 0

Exemplos e exercícios:
3 2
7) Sejam as matrizes