Eng. Civil
Retas e Funções Lineares
1.1 A equação de uma reta
Intuitivamente é fácil perceber que dois pontos distintos denem uma única reta. Na geometria analítica podemos determinar a equação de uma reta que passa por dois pontos distintos do plano cartesiano. Para tal, consideremos a reta denida pelos pontos A = (x0 , y0 ) e B = (x1 , y1 ) da Figura 1.1(a); um ponto qualquer P = (x, y) também estará sobre esta reta desde que A, B e P sejam colineares (estejam alinhados) - Figura 1.1(b).
T
T
P q y
Bq
y1
Bq
y1
y0
.
Aq
x0
...
.
Aq .. θ
.
y0
E
x1
x0
qM x1 qN x E
(b) Reta pelos pontos A, B e P
(a) Reta pelos pontos A e B
Figura 1.1: Denindo a equação de uma reta
Tal condição de alinhamento é satisfeita se os triângulos ABM e AP N forem semelhantes (neste caso uma semelhança do tipo ângulo-ângulo-ângulo); assim podemos escrever
y − y0 y1 − y0
=
. x − x0 x1 − x0
(1.1)
Simplicamos a equação (1.1) notando que a razão
y1 − y0 x1 − x0 é constante1 . Tal constante é chamada de coeciente angular da reta e doravante vamos denotá-la pela letra a. É útil observar que o coeciente angular de uma reta pode ser prontamente encontrado dividindo-se a variação ∆y das
1 Observe que (x , y ) e (x , y ) são as cordenadas de dois pontos conhecidos da reta, assim x , y , x e y são números conhecidos.
0 0
1 1
0
0
1
1
y−y
Por outro lado a razão x−x0 não é constante, uma vez que x e y são as coordenadas de um ponto qualquer do plano cartesiano, logo x e
0
y são valores incógnitos.
1
CAPÍTULO 1. RETAS E FUNÇÕES LINEARES
2
ordenadas dos pontos pela variação ∆x de suas as abcissas; assim
a=
∆y y1 − y0
=
∆x x1 − x0
ou
a=
∆y y0 − y1
=
.
∆x
x0 − x1
(1.2)
Substituindo o valor do coeciente angular dado em (1.2) na equação da reta (1.1) obtemos