Elipse

Elipse

Entende-se por elipse o lugar geométrico de um plano onde a soma da distância de sua extremidade a dois pontos fixos, chamados de focos, F1 e F2, resulta em uma constante 2a, onde 2a > 2c.

Na ilustração da elipse acima temos:

F1 e F2 são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c).
O segmento A1A2 é o maior eixo da elipse e sua medida é a soma da definição 2a.
O segmento B1B2 é o menor eixo da elipse e sua medida corresponde a 2b.
O centro O é o ponto médio entre os eixos da elipse e os focos A1A2 e F1F2.
A excentricidade da elipse é calculada pela razão entre c e a.

Na elipse, a relação de Pitágoras é válida entre as medidas de a, b e c. Dessa forma, temos que: a² = b² + c²

Equação reduzida da elipse

De acordo com a posição dos focos em relação aos eixos das abscissas e das ordenadas, a elipse possui as seguintes equações reduzidas:

Exemplo

Vamos determinar as equações das seguintes elipses:

a)

a² = b² + c² a² = 6² + 8² a² = 36 + 64 a² = 100 a = 10

Equação:

Esfera Chamamos de esfera de centro O e raio R o conjunto de pontos do espaço cuja distância ao centro é menor ou igual ao raio R. Considerando a rotação completa de um semicírculo em torno de um eixo e, a esfera é o sólido gerado por essa rotação. Assim, ela é limitada por uma superfície esférica e formada por todos os pontos pertencentes a essa superfície e ao seu interior.

Volume O volume da esfera de raio R é dado por:

Partes da esfera
Superfície esférica A superfície esférica de centro O e raio R é o conjunto de pontos do es[aço cuja distância ao ponto O é igual ao raio R. Se considerarmos a rotação completa de uma semicircunferência em torno de seu diâmetro, a superfície esférica é o resultado dessa rotação.

A área da superfície esférica é dada por:

Hipérbole

Observe a hipérbole representada a seguir. Nela, temos os seguintes elementos:

focos: os pontos F1 e F2 vértices: os pontos A1 e A2
centro