Elipse

Seções cônicas
Elipse

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Elipse
• Uma elipse é o lugar geométrico dos pontos em um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos F1 e F2 (focos) é uma constante. A distância entre F1 e F2 é chamada de distância focal.
• Os pontos A1, A2, B1 e B2 são os vértices da elipse, o segmento A1A2 é chamado de eixo maior e o segmento B1B2 é chamado de eixo menor.

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Uma propriedade interessante das elipses

• As elipses têm uma propriedade de reflexão interessante. Se uma fonte de luz ou de som for colocada em um foco de uma superfície com seções transversais elípticas, então toda onda de luz ou de som será refletida da superfície para o outro foco.

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Equação da elipse no plano cartesiano
• Podemos facilitar a obtenção da equação de uma elipse colocando seus focos no eixo x, de modo que a origem O(0,
0) fique na metade do caminho entre os focos.
• Estabelecendo os focos como F1(– c, 0) e F2(c, 0) e chamando de 2a a soma das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da elipse aos focos, obtemos a equação demonstrada ao lado.

d PF1  d PF2 2a
( x  c )2  ( y  0)2  ( x  c )2  ( y  0)2 2a
[ ( x  c )2  y 2 ]2 [2a 

( x  c )2  y 2 ] 2

x 2  2cx  c 2  y 2 4a 2  4a ( x  c )2  y 2  x 2  2cx  c 2  y 2
4a ( x  c )2  y 2 4a 2  4cx
[a ( x  c )2  y 2 ]2 (a 2  cx )2

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Equação da elipse no plano cartesiano
• Podemos facilitar a obtenção da equação de uma elipse colocando seus focos no eixo x, de modo que a origem O(0,
0) fique na metade do caminho entre os focos.
• Estabelecendo os focos como F1(– c, 0) e F2(c, 0) e chamando de 2a a soma das distâncias de um ponto genérico P(x, y) da elipse aos focos, obtemos a equação demonstrada ao lado.

[a ( x  c )2  y 2 ]2 (a 2  cx )2 a 2 x 2  a 2c 2  a 2 y 2 a 4  c 2 x 2
(a 2  c 2 )x 2  a 2 y 2 a 2 (a 2  c 2 )
2a  2c  a  c  a 2  c 2  0. Seja b 2 a 2  c 2 , temos : b 2 x 2  a 2 y 2 a 2 b 2 

x2 y 2
 2 1, com a b  0 e c 2 a 2  b 2