Elipse

Elipse Definição:
Dados dois pontos quaisquer do plano F1 e F2 e seja 2c a distância entre eles, elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias à F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c). Elementos da Elipse:

F1 e F2 → são os focos
C → Centro da elipse
2c → distância focal
2a → medida do eixo maior
2b → medida do eixo menor c/a → excentricidade

Há uma relação entre os valores a, b e c→ a2 = b2+c2

Equação da Elipse:
1º caso: Elipse com focos sobre o eixo x.

Nesse caso, os focos têm coordenadas F1( - c , 0) e F2(c , 0). Logo, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x será:

2º Caso: Elipse com focos sobre o eixo y.

Nesse caso, os focos apresentam coordenadas F1(0 , -c) e F2(0 , c). Assim, a equação reduzida da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo y será:

Exemplo 1. Determine a equação reduzida da elipse com focos sobre o eixo x, com eixo maior medindo 12 e eixo menor 8.

Solução: temos que
2a = 12 → a =6
2b = 8 → b = 4
Assim,

Exemplo 2. Determine a equação reduzida da elipse sabendo que um dos focos é F1(0-3) e que o eixo menor mede 8.

Solução: temos que
Se F1(0, -3) → c = 3 e o foco está sobre o eixo y.
2b = 8 → b = 4
Usando a relação notável: a2 = b2+c2, obtemos: a2 = 42+32 → a2 = 16 + 9 → a2 = 25 → a = 5
Assim, a equação reduzida da elipse será:

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS E PROPOSTOS

1) Determine a excentricidade da elipse de equação 16x² + 25y² - 400 = 0 Solução: temos que 16x² + 25y² = 400. Observe que a equação da elipse não está em sua forma reduzida. Vamos dividir ambos os membros por 400. Assim:
(16x² + 25y² = 400)/ (400) x²/25 + y²/16 = 1
Portanto a² = 25 e b² = 16, logo: a = 5 e b = 4
Sendo a² = b² + c²
25 = 16 + c² c² = 9 c = 3
Então:
e = c/a = 3/5 = 0,6

2) Determine a distância focal da elipse 9x² + 25y²-225 = 0
Solução: temos que
(9x² + 25y² = 225)/ (225) x²/25 + y²/9 = 1