Elipse

Elipse
Origem
Vamos considerar um cone circular reto. Utilizando um plano inclinado em relação ao eixo e que intersecte todas as geratrizes do cone, faremos um corte como mostram os desenhos seguintes:

Nesse caso, a secção cônica obtida é chamada elipse.

Definição
Consideremos, inicialmente, no plano do papel, dois pontos fixos F¹ e F² tais que a distância entre eles seja 2c.

Imagine que vamos marcar uma série de pontos tais que a soma de suas distâncias aos pontos fixos F¹ e F² seja sempre constante e maior do que 2c. Na prática, isso pode ser feito com o auxilio de um lápis, dois alfinetes e barbante.

Construindo um grafico ponto a ponto teremos:
AF¹ + AF ² = BF¹ + BF² = CF¹ + CF² = …....= JF ¹ + JF ² = …..= 2a (constante), sendo 2a > 2c

A elipse é o conjunto de todos os pontos do plano que satisfazem essa propriedade.

“ Assim definimos que elipse é o lugar geométrico dos pontos tais que a soma de suas distâncias a dois pontos fixos, F¹ e F², denominados focos, seja constante, igual a 2a e maior que a distância entre os focos ( 2a > 2c)”

Na figura acima temos:
F¹ e F² são os focos da elipse e a distância entre eles é a distância focal (2c);
[pic]é o eixo maior da elipse e sua medida é a soma que consta da definição (2a);
[pic]é o eixo menor da elipse cuja a medida é 2b;
O é o centro da elipse ( intersecção dos eixos da elipse e ponto médio de [pic]; o numero e = [pic]chama-se excentricidade da elipse (0 b.

[pic]

Problema
Vamos determinar a equação da elipse de focos [pic](3,0) e [pic](-3,0) e vértices, que são extremidades do eixo maior, [pic](5,0) e [pic](-5,0).
Pelos dados do problema, os focos estão no eixo Ox e temos a = 5 e c = 3.

a² = b² + c² [pic]25 = b² + 9 [pic]b² = 16
Nesse caso, a equação reduzida é: [pic]
Logo a equação procurada é: [pic]