Eletronica
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Capítulo 10 Excitação Senoidal e Fasores
EA-513 – Circuitos Elétricos I
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10.1 Propriedades das Senóides: Onda senoidal:
Vm
v(t ) = Vm sen (ωt )
Amplitude = Vm Freqüência angular = ω [rad/s] Senóide é uma função periódica: v(t + T ) = v(t ) π/ω -Vm 2π/ω t
Período: T = 2π/ω Freqüência: f = 1/T = ω/2π Expressão geral: v(t ) = Vm sen (ωt + φ ) onde φ é o ângulo de fase.
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Curva de uma senóide defasada de φ radianos:
v(t ) = Vm sen (ωt + φ ) v(t ) = Vm sen (ωt )
φ/ω
π/ω
2π/ω
t
Note que:
π cos ωt − = sen (ωt ) 2 π sen ωt + = cos(ωt ) 2
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Exemplo: Determinação de quanto uma senóide antecede ou segue outra da mesma freqüência. v1 = 4 cos(ωt + 30°)
v2 = −2 sen (ωt + 18°)
v2 = 2 sen (ωt + 18° + 180°) v2 = 2 cos(ωt + 18° + 180° − 90°)
v2 = 2 cos(ωt + 108°)
Portanto, v1 antecede v2 de 30º − 108º = −78º, ou v1 está defasada em relação a v2 de 78º. Soma de uma senóide com uma cossenóide de mesma freqüência:
A cos(ωt ) + B sen (ωt ) = A + B cos(ωt ) + 2 2 A +B
2 2
A
sen (ωt ) 2 2 A +B B
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B
A2 + B 2 θ A
A cos(ωt ) + B sen (ωt ) = A2 + B 2 [cos(ωt ) cos(θ ) + sen (ωt )sen (θ )]
ou
A cos(ωt ) + B sen (ωt ) =
A2 + B 2 [cos(ωt − θ)]
B θ = tan −1 A cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) = cos(a − b) cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b) = cos(a + b)
Obs.:
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Exemplo:
− 5 cos(3t ) + 12 sen (3t ) =
(− 5)2 + 122 [cos(3t − θ)]
12 θ = tan −1 = 112,6° − 5
− 5 cos(3t ) + 12 sen (3t ) = 13[cos(3t − 112,6°)]
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10.2 Exemplo de um Circuito RL Encontrar if .
R
vg = Vm cos(ωt)
+ −
i
L
L
di + Ri = Vm