Edo de segunda ordem

CARRO-MOLA
Considere um carro de massa m preso a uma parede por uma mola e imerso em um fluido. Coloca- se o carro em movimento puxando-o x0 metros de sua posição de equilíbrio e soltando-o. Pela lei de Hooke, a mola exerce uma força Fm sobre o carro proporcional à sua distensão, com coeficiente de proporcionalidade k e tende a restaurar o carro à sua posição inicial. Vamos supor que o meio viscoso oferece uma força Fv de resistência ao movimento proporcional à sua velocidade com constante de proporcionalidade c e, portanto, tem sempre sinal oposto ao movimento. Seja x = x(t) a posição do carro em um instante t e v = v(t) sua velocidade. Uma vez iniciado o movimento, as forças atuantes no carro, Fm e Fv, tem sinais contrários
Vamos supor que, por um instante, o carro está à direita do ponto de equilíbrio. Neste caso, a força Fm assume o sinal negativo e a força Fv o sinal positivo. Acontece que, como o carro está se movimentando para a esquerda, a distância x(t) da posição de equilíbrio está diminuindo, isto é, x(t) está decrescendo e, portanto, sua derivada x′(t) é uma função negativa, ou seja, sua velocidade é negativa. Como Fv é positiva, então Fv = −cx′(t). Logo, pela 2a lei de Newton, a soma das forças atuantes no sistema carro-mola, nos dá F = ma = Fm + Fv ⇐⇒ mx′′(t) = −kx(t)− cx′(t) ou seja, temos uma equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes: mx′′(t) + cx′(t) + kx(t) = 0
Vamos resolver este problema considerando m = 1, c = 5 e k = 6. A idéia é reduzir esta equação de 2a ordem a duas de primeira. (d²x/ dt²)+ (5 dx/dt )+ (6x) = (d²x /dt²) + (2 dx/dt) +( 3 dx/dt )+ 3.2x = (d/dt) (( dx/dt) + 2x ) + 3 ( (dx/dt) + 2x )
Chamando (dx/dt) + 2x = y, tem-se,
(dy/dt) + 3y = 0⇒ y = c(e)^-3t Logo, (dx/dt) + 2x = ce^ −3t ( e2tx )′ = ce^−t, assim, xe^2t = ∫ ce^−t dt = −ce^−t + c1 Logo, a solução geral da equação é x(t) = c1e ^−2t + c2e^−3t No caso de uma equação diferencial de segunda ordem, para