Distribuição de frequencia

1.1 - Distribuição binomial Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma sequência de ensaios de Bernoulli. Tal sequência é definida por meio das seguintes condições: * Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento que será denominado sucesso (S) e cuja não-ocorrência será denominada falha (F). * Os ensaios são independentes. * A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é a mesma para cada ensaio. A probabilidade de falha será denotada por 1-p. Para um experimento que consiste na realização de n ensaios de Bernoulli, o espaço amostral pode ser considerado como o conjunto de n-uplas, em que cada posição há um sucesso (S) ou uma falha (F). A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos k primeiros ensaios e falhas nos n-k ensaios seguintes é Note que esta é a probabilidade de qualquer ponto com k sucessos e n-k falhas. O número de pontos do espaço amostral que satisfaz essa condição é igual ao número de maneiras com que podemos escolher k ensaios para a ocorrência de sucesso dentre o total de n ensaios, pois nos n-k restantes deverão ocorrer falhas. Este número é igual ao número de combinações de n elementos tomados k a k, ou seja,

Ou seja, para k = 0,1,...,n:

Definição 1.1.1: Seja X o número de sucessos obtidos na realização de n ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que X tem distribuição binomial com parâmetros n e p, onde p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função de probabilidade for dada por

Usaremos a notação X b(n,p).
Exemplo 1.1.1: Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é p = 0;1. Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter:
1. Uma peça defeituosa?
2. Nenhuma peça defeituosa? 3. Duas peças defeituosas?
4. No mínimo duas peças defeituosas?
5. No máximo duas peças defeituosas?
Solução:
1. .
2. . 3. .
4. . ou seja, .
5. .