Distribuição binomial

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL

Trata-se de um modelo que dá a probabilidade do número de sucessos quando são realizadas n provas do mesmo tipo – o experimento é repetido n vezes. Cada experimento admite dois resultados – sucesso ou fracasso – com probabilidade p de sucesso e 1 – p = q de fracasso, constantes em cada uma das provas. O modelo de distribuição de probabilidade binomial possibilitará o cálculo das probabilidades da variável Y: número de sucessos. Para utilizarmos a distribuição binomial, as seguintes hipóteses devem ser atendidas: • São realizadas n provas do mesmo tipo (idênticas); • Cada prova admite dois resultados possíveis, um chamado sucesso e o outro fracasso. • As probabilidades p, de sucesso e 1 – p, de fracasso, permanecem constantes em todas as provas; • Os resultados das provas são independentes.

A fórmula do cálculo da probabilidade de certo número y de sucessos em n provas é dada por:

P (Y = y) = [pic]

Onde:
N = número de provas ou repetições do experimento y = número de sucessos n –y = número de fracassos p = a probabilidade de sucesso em cada prova q = 1 – p é a probabilidade de fracasso em cada prova
[pic]= o número de combinações de n elementos, tomados y a y.

Exemplo:

Admite-se que uma válvula eletrônica, instalada em determinado circuito, tenha probabilidade 0,3 de funcionar mais de 600 h. Se ensaiarmos 10 válvulas, qual será a probabilidade de que, entre elas, exatamente y funcione mais de 600 h?

Temos:

Y = variável aleatória: número de sucessos nos 10 ensaios. Assim, y = 0, 1,2,...,10. p = 0,3 probabilidade de sucesso de cada válvula (funcionar mais de 600 h) q = 1 -0,3 = 0,7 probabilidade de fracasso de cada válvula (funcionar menos de 600 h) n = 10 ensaios

Então: P(Y = y) = [pic]

P (Y = 0) = [pic] = 0,0282
P (Y = 1) = [pic] = 0,1211
.
.
.

P(Y = 10) = [pic] = 0,000056

Os resultados podem ser agrupados na tabela de distribuição de