Distribuição Binomial

Distribuição binomial
Para construir o modelo binomial vamos introduzir uma sequência de ensaios de Bernoulli. Tal sequência é definida por meio das seguintes condições:
Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento que será denominado sucesso (S) e cuja não-ocorrência será denominada falha (F).
Os ensaios são independentes.
A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é a mesma para cada ensaio. A probabilidade de falha será denotada por 1-p.
Para um experimento que consiste na realização de ensaios independentes de Bernoulli, o espaço amostral pode ser considerado como o conjunto de n-uplas, em que cada posição há um sucesso (S) ou uma falha (F).
A probabilidade de um ponto amostral com sucessos nos primeiros ensaios e falhas nos ensaios seguintes é
Note que esta é a probabilidade de qualquer ponto com sucessos e falhas. O número de pontos do espaço amostral que satisfaz essa condição é igual ao número de maneiras com que podemos escolher ensaios para a ocorrência de sucesso dentre o total de ensaios, pois nos restantes deverão ocorrer falhas. Este número é igual ao número de combinações de elementos tomados a , ou seja,

Ou seja, para :

Definição: Seja o número de sucessos obtidos na realização de ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que tem distribuição binomial com parâmetros e , em que é a probabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função de probabilidade for dada por

Usaremos a notação . Exemplo: Suponha que numa linha de produção a probabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é . Toma-se uma amostra de 10 peças para serem inspecionadas. Qual a probabilidade de se obter:
1. Uma peça defeituosa?
2. Nenhuma peça defeituosa?
3. Duas peças defeituosas?
4. No mínimo duas peças defeituosas?
5. No máximo duas peças defeituosas?
Solução:
1. .
2. .
3. .
4. . ou seja, .
5. . Exemplo: Suponha que um aluno pretende fazer um teste de múltipla