determinação

UNIVERSIDADE DO ALGARVE
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Exame de Época Normal (11/01/2013)
Cálculo I (BQ, BT, CM, MIEA, MIEB)
Ano letivo 2012/2013 - 1o semestre
Nome:....................................... n .......... Curso:......... Classi…cação:...........
Grupo 3 B
Grupo 3 A
Observações:
A prova tem uma duração de 2h + 30 min. A prova é sem consulta e não é permitido o uso de calculadoras.
No Grupo 1 resolva no máximo 10 questões e, caso escolha uma opção errada, será descontado 0.25 valores por questão.
No Grupo 3, resolva o Grupo 3 A ou o Grupo 3 B (só um deles!).
Nos Grupos 2 e 3, justi…que todas as respostas.
Grupo 1
3 x x 2

1. (1.0) O domínio de f (x) = ln

é

(a) Df = ] 3; 2[

(b) Df = [ 3; 2[

(c) Df =]2; +1[

(d) Df =]

1; 3[

3

2. (1.0) A função inversa de f (x) = ex +1 + 5 é p (b) f 1 (x) = (ln(x
(a) f 1 (x) = 3 ln(x 1) 5
(c) f

1

(x) =

p
3

ln(x

5)

(d) f

1

1

(x) = ln3 (x

3. (1.0) Determine o valor de

de modo que a função
( arctgx se x 6= 0 f (x) = x se x = 0:

seja contínua em x = 0:
(a)

=

(c)

(b)

=1
1

=0

(d)

2

=

5)

1)3

1)

5

4. (1.0) Seja f (x) = função f (x) é

1 x2 k2 + 1

+ 2x

; k 2 R n f0g: Uma primitiva da

(a) F (x) =

1 k x 1 ln 2k k+x+1 (b) F (x) = ln jx2 + 2x

(c) F (x) =

ln jx2 + 2x k 2 + 1j
2x + 2

(d) F (x) =

1 x+1 arctg k k

5. (1.0) Se aplicarmos a mudança de variável x = cos t a

(c)

Z

2

0

Z

1

0

obtemos
Z 1 dt (a) t 0

(b)

Z

1

0

dt t (d)

Z

2

0

k 2 + 1j

dx
,
arccos x

sent dt t sent dt t 6. (1.0) O valor da área da região limitada pela curvas y =senx e y = cos x; entre x = 0 e x = ; pode ser determinado através de
2
Z
Z
Z
4
2
2
(a)
(senx cos x)dx +
(cos x senx)dx
(b)
(cos x senx)dx
0

(c)

Z

0

4

4

(cos x senx)dx +

0

Z

2

(senx

4

s

2

(senx

x2 y 2