Determinação momento de inercia

1.0 INTRODUÇÃO

2.1 Pêndulo Físico

Um pêndulo físico é qualquer pêndulo real, que usa um corpo com volume finito, em contraste com o modelo idealizado do pêndulo simples, que usa um corpo cuja massa está concentrada em um único ponto. Para oscilações pequenas, analisar o movimento de um pêndulo físico é quase tão fácil quando analisar o movimento de um pêndulo simples.

Considere um corpo rígido com massa m, suspenso pelo ponto “O”, que fica a uma distância a do seu centro de massa, como mostrado na figura 1.0. Se for produzido um deslocamento angular θ da sua posição de equilíbrio, sobre o corpo atuará um torque restaurador:

t = -(mg) (a sen θ) (1)

que tenderá a levar o corpo para sua posição de equilíbrio. O sinal negativo mostra que o torque restaurador possui sentido anti-horário quando o deslocamento possui sentido horário e vice-versa.

Quando o corpo é liberado, ele oscila em torno da posição de equilíbrio. O movimento não é harmônico simples porque o torque restaurador não é proporcional a θ , mas sim a sen θ . Contudo, considerando θ pequeno, de modo que se possa considerar sen θ ≃ θ (em radianos), a equação (1) pode ser apresentada da seguinte forma:

t= −mga θ (2)

Devido ao torque restaurador, o corpo rígido irá oscilar em torno do ponto O. Este torque restaurador pode ser expresso em termos do momento de inércia do corpo do corpo em relação ao eixo passando por O, Ia, e da sua aceleração angular, a(t)= d² θ dt²

t= Ia a(t) (3)

Igualando as equações. (2) e (3), tem-se:

d² θ dt²= - mgaθIa (4)

Figura 1.0 - Pêndulo físico, deslocado de um ângulo θ de sua posição de equilíbrio.

que é uma equação diferencial, para a qual se quer encontrar uma expressão para θ que seja solução da mesma. Uma solução que se pode propor é:

θ (t)= θ 0 cos ω t (5)

onde ω é a freqüência angular do pêndulo. Substituindo (5) em (4) fica-se com:

ω ² = - mgaIa