Momentos de inércia

Capítulo IX

Forças distribuídas – Momentos de inércia

9.3 – Determinar por integração direta os momentos de inércia da figura abaixo, em relação aos eixos x e y.

a – estabelece-se inicialmente uma faixa elementar retangular conforme o desenho abaixo. Esta faixa terá uma dimensão infinitesimal, ou seja dx ou dy, e a outra dimensão x ou y. Poder-se-ia tomar como elemento infinitesimal um quadrado elementar dxdy, mas teríamos que fazer uma integração dupla. Com o auxílio do retângulo podemos resolver o problema com uma integração simples..

b – verificação da equação das curvas:

- equação da reta y2 = m.x No ponto y2 = b temos x = a Então b = m.a e m = b/a Substituindo na equação teremos

- equação da parábola y1 = k x2 No ponto y1 = b temos x = a Então b = k a2 e k = b/a2 . Substituindo na equação teremos

c – momento em relação ao eixo y:

d Iy = x2.dA porque Iy =  x2 . dA , por definição. Então

d Iy = x2 . dA = x2 . y . dx = x2 (y2-y1).dx

d – momento em relação ao eixo x:

Podemos utilizar o mesmo retângulo elementar do item anterior uma vez que conhecemos o valor de seu momento de inércia em relação ao eixo x, que passa por sua base, e que vale :

Subtraindo os momentos de inércia dos dois retângulos elementares da figura, entre o eixo x e a curva y2 e entre o eixo x e a curva y1 teremos:

Substituindo y1 e y2 em função de x:

Note que como usamos uma faixa elementar paralela ao eixo y fica mais fácil calcular o momento de inércia em relação a y, Iy, por integração direta, uma vez que todos os pontos do retângulo elementar se encontram ‘a mesma distância x do eixo y. Por outro lado em relação ao eixo x as distâncias y são variáveis, já que o retângulo elementar é perpendicular ao eixo x. Assim é mais fácil resolver o problema utilizando o momento de inércia do retângulo elementar com relação ‘a sua base (eixo x) usando a fórmula conhecida onde, substituindo y=h e