mecânica dos solidos

Universidade Federal de Alagoas
Centro de Tecnologia
Curso de Engenharia Civil

Disciplina: Mecânica dos Sólidos 1
Código: ECIV018 Turma: A Período Letivo: 2008-1
2008Professor: Eduardo Nobre Lages

Forças Distribuídas: Momentos de Inércia

Motivação
M

Flexão em vigas

M

y dA dF = k y dA y x

R = ∫ dF = ∫ kydA = k ∫ ydA
A

= kQ x = kyA = 0

A

M = ∫ ydF = ∫ ky 2 dA = k
A

y=0 y 2 dA
∫
A

Motivação
Flexão em vigas
1

2

ConsumindoConsumindo-se um mesmo volume de material, é possível modificar a rigidez à flexão da estrutura. estrutura. Motivação
Pressão sobre comportas x R = ∫ dF = ∫ γydA = γ ∫ ydA
A

A

= γQ x = γ yA dA y

dF = γ y dA

M = ∫ ydF = ∫ γy 2 dA = γ
A

y 2 dA
∫
A

Momento de Inércia ou
Momento de 2ª Ordem y y

Momento de inércia ou de 2a ordem em relação ao eixo x

dA

I x = ∫ y 2 dA
A

x

x

Momento de inércia ou de 2a ordem em relação ao eixo y

I y = ∫ x dA
2

A

Determinação dos Momentos de Inércia por Integração
I x = ∫ y 2 dA

I y = ∫ x 2 dA

Em princípio, para quantificação dos momentos de 2ª ordem (ou momentos de inércia), esses são calculados a partir de integrais duplas no domínio representativo da região estudada, onde se deve escrever o elemento infinitesimal de área dA de acordo com a conveniência das coordenadas de descrição da região tratada. Determinação dos Momentos de
Inércia por Integração Dupla
D = { (x, y ) | a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d} d b

y

= ∫ ∫ y 2 dxdy
I x = ∫ y dA
2

dA=dxdy

c a

d d dx

2

c

c

c a [ ] dy = ∫ (b − a )y dy

= ∫ xy

dy

d

2 b a b

x

d

 y 
= (b − a ) 
3 c

3

=

(b − a )(d 3 − c3 )
3

Determinação dos Momentos de
Inércia por Integração Dupla
D = { (x, y ) | a ≤ x ≤ b e c ≤ y ≤ d} d b

y

= ∫ ∫ x 2 dxdy
I y = ∫ x dA
2

dA=dxdy

c a

d dy dx c a

b

x  b −a dy = ∫   dy = ∫
3
3 a c c