Derivação das leis de Kepler

Derivação das leis de Kepler
Com a Teoria da Gravitação Universal de Isaac Newton, foi possível postular um único princípio:

que, aliado às Três Leis de Newton, foi capaz de explicar completamente as observações astronômicas conhecidas até a época e ainda depois, até a descoberta de que a velocidade da luz no vácuo é constante para todos os referenciais. Essa descoberta levou à criação da teoria da relatividade restrita e, consequentemente, da teoria da relatividade geral, que, para certos fenômenos que até então não haviam sido observados, invalida a teoria de Newton da gravitação.
No entanto, as leis de Newton e a sua teoria da gravidade são mais do que o suficiente para explicar as leis de Kepler. De fato, as três leis são deriváveis da simples equação postulada acima, de modo que ainda aparecem mais completas do que da forma descrita por Kepler.
Para derivá-las, é preciso introduzir alguns conceitos. representa a derivada temporal de x, enquanto é a derivada temporal segunda de x. é o vetor unitário que indica a direção do planeta em relação à sua estrela. A derivada temporal desse vetor, que representaremos como é igual a , onde é a velocidade angular do planeta em relação à estrela, e é um vetor unitário perpendicular a . Existem duas direções possíveis de um vetor unitário perpendicular a outro, mas a direção deste é escolhida de modo que tivesse que virar no sentido anti-horário para apontar na mesma direção dele. A derivada de , por sua vez, é .
O vetor é o vetor-posição do planeta em relação à sua estrela, e é definido como , onde é o módulo da distância entre o planeta e a estrela. Assim, . Seguindo daí,

.
Organizando, temos,

Isso será usado na derivação das leis, que vem a seguir:
Primeira lei de Kepler
Em primeiro lugar, consideramos o planeta como sendo uma partícula (o que se justifica com boa aproximação para o fim das leis de kepler, já que o tamanho dos planetas do sistema solar são desprezíveis em comparação com a sua