derivadas

Derivadas Parciais
1. Definição 1: Derivadas parciais de funções a duas variáveis
Seja 𝑓 uma função a duas variáveis e (x, y) um ponto no domínio de f, então as derivadas parciais de f em relação à primeira e à segunda variável são as funções
𝜕𝑓 (𝑥,𝑦)
𝜕𝑓 (𝑥,𝑦 )
𝑒 𝜕𝑦 definidas por:
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝑓 𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
= lim
𝜕𝑥 ∆𝑥→0
∆𝑥
𝜕𝑓
𝑓 𝑥, 𝑦 + ∆𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦)
= lim
𝜕𝑦 ∆𝑦 →0
∆𝑦
contanto que os limites existam.
Interpretação
A derivada parcial de z =f (x,y) em relação a x (primeira variável independente) é a taxa de variação instantânea de f em relação a x, para um determinado valor constante (fixo)
𝜕𝑓
𝜕𝑧 de y. Notações: 𝜕𝑥 , 𝜕𝑥 , 𝑓𝑥 , 𝑓1 , 𝐷 𝑥 𝑓 , 𝐷1 𝑓 .
A derivada parcial de z = f (x,y) em relação a y (segunda variável independente) é a taxa de variação instantânea de f em relação a y, para um determinado valor constante (fixo)
𝜕𝑓 𝜕𝑧 de x. Notações: 𝜕𝑦 , 𝜕𝑦 , 𝑓𝑦 , 𝑓2 , 𝐷 𝑦 𝑓 , 𝐷2 𝑓 .

2. Definição 2: Derivadas parciais de funções a n variáveis
Seja 𝑓 uma função a n variáveis e suponha que a n-upla (𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 ) pertença ao domínio de f. Se 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛, então a derivada parcial de f em relação j-ésima variável
𝑥𝑗 é denotada por 𝑓𝑗 é definidas por:
𝑓𝑗 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 =

𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑗 + ∆𝑥, … , 𝑥 𝑛 − 𝑓 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥 𝑛 )
𝜕𝑓
= lim
𝜕𝑥𝑗 ∆𝑥 𝑗 →0
∆𝑥𝑗

contanto que o limite exista.

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Exemplos:
1) Seja a figura abaixo o mapa de contorno de certa função 𝑓(𝑥, 𝑦).

Se para um determinado ponto P fixarmos o valor de y e variarmos o valor de x, observamos que o valor da função f diminui a medida que o ponto P se desloca no sentido positivo do eixo x então, a taxa de variação de f em relação a x é negativa, ou
𝜕𝑓
seja, 𝑓𝑥 = < 0 no ponto P.
𝜕𝑥

Se fixarmos x e variarmos y, as curvas de contorno indicam que o valor de f aumenta a medida que o ponto P se desloca no sentido positivo do eixo y então, a