Derivadas

Exemplo:
Um tanque tem a forma de um cone invertido com 16 m de altura e uma base com 4 m de raio. A água “flui” no tanque a uma taxa de 2 m3/min. Com que velocidade o nível da água estará se elevando quando sua profundidade for de 5 m?
Solução:
Seja t o tempo medido em minutos decorridos desde que a água começou a fluir dentro do tanque; h a altura em metros do nível de água em t min; r a medida em metros do raio da superfície da água em t min; e V a medida, em metros cúbicos, do volume de água no tanque em t min. Em qualquer instante, o volume de água no tanque pode ser expresso em termos do volume do cone (Fig. 1). Fig 1. Tanque na forma de um cone V, r e h são todas funções de t. Como a água está fluindo no tanque a uma taxa de 2 m3/min, dh quando h = 5m. Para expressar r em termos de h, temos, dos triângulos semelhantes, Logo, Então, dt dhh161dt

Assim sendo, o nível de água está subindo a uma taxa de π25 32m/min quando a profundidade da
EX: 12 Calcular a taxa de variação de uma gota de chuva.
Imagine uma gota de chuva esférica caindo através do vapor de água no ar.
Suponha que o vapor adira à superfície da gota de tal maneira que a taxa de aumento da massa M da gota seja proporcional à área S da superfície da mesma. Se o raio inicial da gota é, na verdade, zero, e o raio é r = 1 m após 20s. Temos dM/dt = kS, onde k é uma constante que depende das condições atmosféricas. Ora, M = 3/4§pr3 e S = 4§r2 , onde p é a densidade da água. Assim, a regra da cadeia dá 4§kr2 = kS = DM/dt =DM/dr . dr/dt; isto é, 4§kr2
4§pr2dr/dt. Isto implica dr/dt = k/p, uma constante. Assim, o raio da gota cresce a uma taxa constante. Se forem necessários 20s para que r cresça até 1 m, será preciso 1min para r crescer até atingir 3mm.
EX: 13 Calcular a altura máxima atiginda por uma bola lançada do solo e a velocidade que ela atinge o solo em seu retorno.
Se pegarmos uma bola de 32g e lançarmos ao alto com velocidade inicial de + 96 ft/s, então