derivadas

Cálculo III
TESTE 2 - APLICAÇÕES DA INTEGRAL DUPLA
Data de entrega: 13/11/13

Nome: _________________________________________________________

MASSA TOTAL
Suponha uma lâmina colocada em uma região D do plano-xy e cuja densidade (em unidades de massa por unidade de área) no ponto (x, y) em D é dada por ρ ( x, y ) , onde ρ é uma função contínua sobre D. Então a massa total m da lâmina é dada por:

m =

∫ ∫ ρ ( x, y ) dA
D

MOMENTOS DE MASSA
O momento de massa de uma partícula em torno de um eixo é o produto de sua massa pela distância (na perpendicular) ao eixo. Então, os momentos de massa da lâmina D em relação ao eixo dos x e dos y são respectivamente:

Mx =

∫∫

y ρ ( x, y ) dA

e

My =

D

∫∫

x ρ ( x, y ) dA

D

CENTRO DE MASSA

(

)

O centro de massa da lâmina é definido por x, y , onde:

x =

My m e

y =

Mx m O significado físico disso é que a lâmina se comporta como se toda sua massa estivesse concentrada em seu centro de massa. Assim, a lâmina permanece horizontal quando equilibrada em seu centro de massa (figura acima).

1. Calcule o centro de massa do retângulo [ 0,1] × [ 0,1] se a densidade é dada pela função: f ( x, y ) = e x

2. Determine

+ y

.

o

centro

de

y = x + x2 , y = 0 e x = 2

massa

da

região

limitada

pelas

se a densidade em cada ponto é f ( x, y ) =

curvas

y
.
1 + x

3. Uma lâmina ocupa a parte do disco x 2 + y 2 ≤ 1 do primeiro quadrante. Determine o centro de massa se a densidade em qualquer ponto for proporcional à distância do ponto ao eixo x.

4. Determine o centro de massa da lâmina do Exercício 3 se a densidade em qualquer ponto for proporcional ao quadrado da distância do ponto à origem.

5. Determine a massa e o centro de massa da lâmina que ocupa a região D limitada pela parábola x = y2

e pela reta

y = x − 2 e tem função densidade

ρ ( x, y ) = 3 .