derivadas

CURSO DE CIÊNCIAS CONTÁBEIS
MÉTODOS QUANTITATIVOS - Prof. EDUARDO
Apostila - Derivadas
ALUNO(A): __________________________________________________________________
1. ACRÉSCIMOS E RAZÃO ENTRE ACRÉSCIMOS DE VARIÁVEIS
Numa função do tipo y = f(x), y é chamado de variável dependente da função e x de variável independente. Veja a função abaixo. variável independente ou variável livre y = 2x + 5 variável dependente ou valor da função
Quando a variável independente x assume os valores x = x1 e x = x2 , o acréscimo de x é obtido pela expressão:

∆x = x2 – x1

Da mesma forma, a variável dependente y, assume valores y = y1 e y = y2 , cujo acréscimo de y é calculado por

∆ y = y2 – y1

onde ∆y é chamado de acréscimo da variável dependente ou taxa de variação da função. Exemplo. Calcule:
a)

O acréscimo da variável independente x , quando ela passa de x1 = 3 para o valor x2 = 8.

Solução:

∆x = x2 – x1

⇒

∆x = 8 – 3

⇒ ∆x = 5

b) O acréscimo da variável dependente ( ∆y ), correspondente ao acréscimo da variável independente ( ∆x ), quando x passa de

x1 = 3

Solução: se x1 = 3

x2 = 8.

⇒ y1 = 2.3 + 5 ⇒ y1 = 11

se x2 = 8

para

⇒ y2 = 2.8 + 5 ⇒ y2 = 21

∆y = y2 – y1 ⇒ 21 – 11 ⇒ ∆y = 10

1

2. TAXA MÉDIA DE VARIAÇÃO DA FUNÇÃO
Considerando x variando no intervalo [ x1 , x2 ], A taxa média de variação da função ou razão incremental de uma função y = f(x) definida e contínua nesse intervalo é dada pelo quociente:

∆y
. Levando-se em conta o exemplo anterior, temos:
∆x

y −y
∆y
21−11
10
= 2 1 =
=
= 2
∆x
x2 − x1
8−3
5
Obs(01) : Se no lugar de y = 2x +5, tivermos f(x) = 2x +5 , então, ∆y = y2 – y1 pode ser dado por ∆f(x) ou mais simplesmente por ∆f(x) = f(x2) – f( x1), e, no lugar de

∆y
∆f
f ( x2 ) − f ( x1 ) f (8) − f (3)
21 − 11
10
, escreveríamos:
=
=
=
=
= 5
∆x
∆x
∆x
8−3
8−3
5
Obs(02) :
Se ∆x é dado por ∆x = x2 – x1, então x2 = x1 + ∆x. Fazendo ∆x = h implica que x2 = x1