Derivada

No cálculo, a derivada em um ponto de uma função representa a taxa de variação instantânea de em relação a neste ponto. Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade. Geometricamente, a derivada no ponto de representa a inclinação da reta tangente ao gráfico desta função no ponto .1 2 A função que a cada ponto associa a derivada neste ponto de é chamada de função derivada de f(x).

Click para uma maior imagem. Em cada ponto, a derivada de é a tangente do ângulo que a reta tangente à curva faz em relação ao eixo das abscissas. A reta é sempre tangente à curva azul; a tangente do ângulo que ela faz com o eixo das abscissas é a derivada. Note-se que a derivada é positiva quando verde, negativa quando vermelha, e zero quando preta.
Índice
1 Definição e notação
1.1 Funções com valores em R
2 Diferenciabilidade
2.1 Derivabilidade num ponto
2.2 Derivabilidade em todo o domínio
2.3 Funções continuamente deriváveis
2.4 Derivadas de ordem superior
3 Exemplos
4 Pontos críticos, estacionários ou singulares
5 Derivadas notáveis
6 Funções de uma variável complexa
7 Física
8 Derivadas parciais
9 Referências
9.1 Bibliografia
10 Ver também
11 Ligações externas
Definição e notação
Seja um intervalo aberto não-vazio e seja , , uma função de em . Diz-se que função é derivável no ponto se existir o seguinte limite:3
.
Se for esse o caso, o número real é chamado de derivada da função no ponto . Notações equivalentes são:
.
Equivalentemente, escrevemos:

o que é obtido fazendo no limite acima. Desta forma, define-se a função derivada de por:

para todo para o qual este limite existe.
Uma função é dita derivável (ou diferenciável) quando sua derivada existe em cada ponto do seu domínio.
Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como um processo de limite. Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de intersecção