Derivada

A Regra da Cadeia
Continua¸c˜ao das notas de aula do mˆes 11/03
Vers˜ao de 20 de Novembro de 2003
Agora queremos entender o que acontece com a derivada de uma composi¸c˜ao de fun¸c˜oes. Antes de mais nada, lembremos a nota¸c˜ao e o significado disso: denotamos f  g (x) `a composi¸c˜ao f (g (x)). Podemos pensar nessa composi¸c˜ao como dois passos: y = g (x) e z = f (y). Fa¸ca uma figura representando essa composi¸c˜ao e indicando as trˆes derivadas presentes nessa discuss˜ao: g0 (x), f0 (y) e (f  g)0 (x).
A regra da cadeia diz precisamente a rela¸c˜ao entre essas derivadas. Para obter tal rela¸c˜ao vamos novamente fazer uso da id´eia de derivada como aproxima
¸c˜ao linear. Assim, f (y +
y)  f (y) + f0 (y)
y, (1) g (x +
x)  g (x) + g0 (x)
x, (2) e agora queremos obter destas a aproxima¸c˜ao linear de f  g (x +
x). Usando primeiramente a express˜ao (2), tem-se f (g (x +
x))  f (g (x) + g0 (x)
x) , (3) e agora usa-se a express˜ao (1) reconhecendo y = g (x) e
y = g0 (x)
x: f (g (x +
x))  f (g (x)) + f0 (g (x)) g0 (x)
x, (4) de onde deve ficar claro que
(f  g)0 (x) = f0 (g (x)) · g0 (x) (5)
Em nota¸c˜ao de Leibniz, esse resultado pode ser escrito de uma forma at´e mneomˆonica: dz dx = dz dy · dy dx
, (6) que nos lembra como s˜ao encadeadas as pequenas varia¸c˜oes de x, y e z. O estudante, por´em, deve estar atento tanto ao fato de na nota¸c˜ao de Leibniz n˜ao ser expl´ıcito onde s˜ao calculadas as derivadas, quanto para o fato que o que est´a escrito na express˜ao (6) n˜ao ´e um produto de fra¸c˜oes!
Agora vamos discutir algumas conseq¨uˆencias da regra da cadeia.
• Derivada de F (x) = erx, com r constante.
Vocˆe pode pensar F como uma composi¸c˜ao onde f (y) = ey e g (x) = rx.
Com isso,
F0 (x) = erx · r = rerx. (7)
1
• Derivada de F (x) = ax, onde a > 0 ´e constante.
Para isso recorremos `a inversa da exponencial, o logaritmo. Basta lembrar que ax = eln(ax) = ex ln a, (8) e notar que ln a ´e uma constante, e