Dedução da equação do calor

Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul
Curso de Mestrado em Modelagem Matem´tica a Disciplina de Equa¸˜es Diferenciais Parciais co Aluno: Douglas Joziel Bitencourt Freitas
Dedu¸˜o da equa¸˜o do calor ca ca
Considere uma barra de comprimento L, cuja sec¸˜o transversal tem ´rea A, feita ca a de um material homogˆneo e isotr´pico condutor de calor. Suponhamos que a superf´ e o ıcie lateral da barra esteja isolada termicamente de modo a n˜o permitir, atrav´s dela, transa e ferˆncias de calor com o meio ambiente. Entretanto, transferˆncias podem ocorrer atrav´s e e e das extremidades da barra. Deste modo, o fluxo de calor se d´ somente na dire¸˜o longia ca tudinal, e, portanto, temos um problema de condu¸ao do calor unidimensional. c˜ A lei do resfriamento de Fourier diz o seguinte: considere duas placas, P1 e P2 , de areas iguais a A, mantidas constantemente em temperaturas T1 e T2 , respectivamente;
´
se colocadas paralelamente a uma distˆncia d uma da outra, haver´ passagem de calor a a da placa mais quente para a mais fria, e a quantidade de calor, por unidade de tempo, transferida de uma placa para outra ´ dada por e Q=

kA|T2 − T1 |
,
d

(1)

onde k ´ a condutividade t´rmica do material entre as placas (que, no S.I., k tem como e e unidade padr˜o W/m K). Utilizaremos a seguir essa lei para analisar a condu¸ao do calor a c˜ na barra.
Representamos por u(x, t) a temperatura de um ponto de abcissa x no tempo t.
Tomemos duas sec¸˜es transversais da barra localizadas em x e em x + d. Para aplicar co a lei de Fourier, imaginamos essas sec¸oes como as placas P1 e P2 . Entretanto h´ uma c˜ a dificuldade porque as temperaturas nessas sec¸˜es variam com o tempo, e, portanto, n˜o co a s˜o constantes como requer a lei de Fourier. Para superar esse impasse, vamos introduzir a a grandeza fluxo de calor atrav´s de uma sec¸ao x, num instante t. Considere fixo o tempo e c˜ t em (1), seja T2 = u(x