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Equações Diferenciais Lineares de Ordem Superior
Uma equação diferencial linear de ordem n tem a forma: an dny d n −1 y dy + a n −1 n −1 + ... + a1
+ a 0 y = g (x ) n dx dx dx

onde a n , a n −1 , ..., a1 , a 0 e g (x ) dependem apenas de x ou são constantes.
Se g (x ) ≡ 0 , então a equação é homogênea; em caso contrário é não-homogênea.
Uma equação diferencial linear tem coeficientes constantes se todos os coeficientes a i na equação acima são constantes; se pelo menos um dos coeficientes não é constante a equação é de coeficientes variáveis.
Soluções para Equações Lineares
Dizemos que um conjunto de funções f 1 (x ) , f 2 (x ) ,..., f n (x ) é linearmente dependente em um intervalo I se existem constantes C1 , C 2 ,..., C n , não todas nulas, tais que
C1 f 1 ( x ) + C 2 f 2 ( x ) + ... + C n f n ( x ) = 0

para todo x no intervalo I.
Se a única solução da equação acima é C1 = C 2 =...= C n = 0 , então o conjunto de funções f 1 (x ) , f 2 ( x ) ,..., f n ( x ) é dito linearmente independente no intervalo.
Exemplos: As funções y1 = e x , y 2 = e 2 x e y 3 = 3e x são linearmente dependentes, pois para C1 = −3 , C 2 = 0 e C 3 = 1 tem-se: C1 y1 + C 2 y 2 + C 3 y 3 = −3e x + 0.e 2 x + 3e x = 0 . É fácil verificar neste caso, que as funções y1 = e x e y 3 = 3e x são múltiplas uma da outra, ou seja, y 3 = 3 y1 , o que as torna linearmente dependentes.
Já as funções y1 = 1 , y 2 = x e y 3 = x 2 são linearmente independentes, pois só se obtém C1 y1 + C 2 y 2 + C 3 y 3 = 0 , se e somente se C1 = C 2 = C 3 = 0 e C1 + C 2 x + C 3 x 2 ≠ 0 se algum C i for diferente de zero. Além disso, nenhuma das soluções é múltipla de uma outra. A equação diferencial linear homogênea de ordem n sempre tem n soluções linearmente independentes. Se y1 (x ) , y 2 (x ) ,..., y n (x ) representam essas soluções, então a solução geral é dada por : y (x ) = C1 y1 (x ) + C 2 y 2 (x ) + ... + C n y n (x ) , onde C1 , C 2 ,...,
C n são constantes arbitrárias