Cônicas

ÁLGEBRA LINEAR

PRÉ-REQUISITO PARA CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III

I) CIRCUNFERÊNCIAS

DEFINIÇÃO: Dados um ponto C, pertencente a um plano , e uma distância r maior que zero, chama-se circunferência o conjunto dos pontos P de que estão à distância r do ponto C.
Circunferência = { P PC = r }
Consideremos a circunferência de centro C = (a,b) e raio r. Um ponto P = (x,y) pertence à circunferência se, e somente se, a distância PC é igual ao raio r.

Um ponto genérico P = (x,y) pertencente à circunferência, verifica a condição PC = r, e portanto teremos:
PC = r = r obtendo-se a equação reduzida da circunferência

Exercício: Das equações a seguir, quais representam uma circunferência? Determinar o centro e o raio e fazer um esboço.
a) x2 + 3y2 – 5x – 7y – 1 = 0
b) x2 + y2 + xy – 4x – 6y – 9 = 0
c) 3x2 + 3y2 + 4x – 6y + 15 = 0
d) x2 + y2 – 2x – 2y + 2 = 0
e) 2x2 + 2y2 - 4x – 6y - 3 = 0

II) CÔNICAS

A) ELIPSE

DEFINIÇÃO: Dados dois pontos distintos F1 e F2 , pertencentes a um plano , seja 2c a distância entre eles. Elipse é o conjunto dos pontos P de cuja soma das distâncias a F1 e F2 é a constante 2a (2a > 2c).
Elipse = { P PF1 + PF2 = 2a}

Assim, temos: QF1 + QF2 = 2a; RF1 + RF2 = 2a; SF1 + SF2 = 2a; A1F1+ A1F2= 2a; B1F1 + B1 F2 = 2a; A2F1 + A2F2 = 2a; B2F1 + B2F2 = 2a

ELEMENTOS PRINCIPAIS
F1 e F2 focos
O centro
A1, A2, B1 e B2 vértices
A1A2 eixo maior
B1B2 eixo menor
2c distância focal
2a medida do eixo maior
2b medida do eixo menor
Relação notável a2 = b2 + c2

EQUAÇÃO REDUZIDA

F1 = (-c, 0) e F2 = (c,0)
P = (x,y) ponto genérico da curva
P elipse PF1 + PF2 = 2a

Exercício: Represente geometricamente no sistema cartesiano Oxy as elipses, fornecendo as coordenadas dos vértices e focos.
a)
b)
c) 9x2 + 5y2 + 18x – 30y + 9 = 0
d) 2x2 + 4y2 – 12x + 16y + 26 = 0

B) HIPÉRBOLE

DEFINIÇÃO: Dados dois pontos distintos F1 e F2 , pertencentes a