Curvas algébricas

Variedades
Allan Moura, Beatriz Motta e Rafael Peixoto
Curvas Alg´bricas - Prof. Fernando Torres e

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Defini¸oes e resultados b´sicos c˜ a
Ao longo desta monografia, k representa um corpo algebricamente fechado.

1.1

Variedades alg´bricas e projetivas e

Defini¸˜o 1.1. Uma variedade alg´brica afim (resp. variedade alg´brica projetiva) ca e e n n ´ um subconjunto fechado irredut´ de A (resp. de P ) com a topologia induzida e ıvel da topologia de Zariski. Um subconjunto aberto de uma variedade afim (resp. projetiva) ´ chamado uma variedade quasi-afim (resp. variedade quasi-projetiva). e

Exemplo 1.2. Em A2 , consideremos o conjunto V = {(t, t) | t ∈ k}. Temos que V = Z(x − y) e x − y ´ um polinˆmio irredut´ em k[x, y], donde V ´ variedade e o ıvel e alg´brica afim. Podemos ainda tomar A = V \{(0, 0)}, que ´ uma variedade quasie e afim, j´ que, como A = V (A2 \Z(x + y)), A ´ um subconjunto aberto de V . a e Em P1 , podemos tomar o mesmo polinˆmio x−y, obtendo a variedade projetiva o W = Z(x − y) = (1 : 1). Como exemplo de variedade quasi-projetiva, podemos escolher P1 \W , que ´ um aberto da variedade projetiva trivial P1 . e Dada uma variedade afim V ⊂ An (resp. variedade projetiva V ⊂ Pn ), definimos o anel de coordenadas afim (resp. anel de coordenadas homogˆnias) de V e como sendo Γ(V ) = k[x1 , ..., xn ]/I(V ) (resp. Γh (V ) = k[x0 , ..., xn ]/Ih (V )). Se X ´ um espa¸o topol´gico, definimos a dimens˜o de X (denotada por e c o a dim(X)) sendo o supremo de todos os inteiros n tal que existe uma cadeia Z0 ⊂ Z1 ⊂ ... ⊂ Zn de distintos subconjuntos fechados irredut´ ıveis de X. Definimos a dimens˜o de uma variedade afim ou quasi-afim (resp. projetiva ou quasi-projetiva) a sendo sua dimens˜o como um espa¸o topol´gico. a c o

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Disto, segue da correspondˆncia biun´ e ıvica entre os subconjuntos fechados irredut´ ıveis de conjuntos alg´bricos afim V de An e os ideias primos de seus respectivos e an´is coordenados Γ(V ), que: e Proposi¸˜o 1.3. dim(V ) = dim Γ(V ). ca

Exemplo 1.4.