crescimento de 2008 a 2012

Integral Indefinida

Até agora, tratamos do “problema das tangentes”. Dada uma curva, achar o coeficiente angular de sua tangente ou, de modo equivalente, dada uma função, achar sua derivada. Newton e Leibniz descobriram que muitos problemas de geometria e física dependem de “derivação para trás” ou “antiderivação”. Este é, às vezes, chamado problema inverso das tangentes: dada a derivada de uma função, achar a própria função. De agora em diante trabalharemos com as mesmas regras de derivação. No entanto, aqui essas regras são usadas no sentido contrário e levam em particular á “Integração” de polinômios.

Se y = F(x) é uma função cuja derivada é conhecida, por exemplo:

Podemos descobrir qual a função F(x)?

F(x) = x2

Podemos acrescentar um termo constante que não muda a derivada. x2 +1; x2 - ; x2 + 5....

e mais geralmente, x2 + C onde C é uma constante qualquer.

Proposição: Se F(x) e G(x) são duas funções tendo a mesma derivada f(x) num certo intervalo, então G(x) difere de F(x) por uma constante, isto é, existe uma constante C com a propriedade de que:
G(x) = F(x) + C para todo x no intervalo.

Ex.: F(x) = 1/3 x3 + 3 G(x) = 1/3 x3 +

Para ver por que essa afirmação é verdadeira, notemos que a derivada da diferença G(x) – F(x) é igual a zero no intervalo considerado.

Segue-se que essa diferença deve ter um valor constante C, e assim:
G(x) – F(x) = C ou G(x) = F(x) + C Que é o que queríamos estabelecer: Esse princípio permite-nos concluir que toda solução da equação deve ter a forma x2 + C para alguma constante c. O problema que acabamos de discutir envolveu a descoberta de uma função desconhecida cuja derivada é conhecida. Se f(x) é dada, então a função F(x) tal que

chama-se uma antiderivada (ou primitiva) de f(x), e o processo de achar F(x) a partir de f(x) é a antiderivação (ou primitiva). Vimos que f(x) não precisa ter uma antiderivada única, mas se pudermos achar uma