considere que um material com um buraco no meio sofre dilatação termica. oque acontecera com o tamanho desse buraco?

O buraco dilata-se como o material. Ou seja seguindo a mesma lei de dilatação. Quando aquecemos um sólido, os furos que ele porventura tiver se dilatarão como se fossem do mesmo material. Imagine uma chapa na qual é feito um corte no seu centro de maneira que fique um buraco no centro. A peça destacada e as restantes poderiam ser aquecidas isoladas ou conjuntamente (supondo que tenham a mesma temperatura final). A peça destacada continuaria se encaixando perfeitamente no buraco.

Para provar, exige um pouco de matemática. Vamos supor que o material seja isotrópico para que a dilatação seja a mesma em todas as dimensões. Vamos analisar primeiro o caso de uma superfície. A equação da dilatação superficial é dada por
Af = A (1+ 2αΔT) aonde A é a área inicial antes do aquecimento.
Af é a área ao final, após o aquecimento α e o coeficiente de dilatação superficial
ΔT é a variação de temperatura.
Assim
Af = A+ 2αA ΔT
Af-A = 2αA ΔT
Mas Af-A é quanto a área variou. chamando de ΔA a variação da área da superfície aquecida,
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ΔA = 2αAΔT
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Podemos dividir qualquer superfície regular ou irregular em N retângulos, não necessariamente iguais e tão pequenos quanto se queira. Para cada retângulo vale a dilatação superficial ΔA = 2αAΔT. Assim, a contribuição total também seguirá que ΔA = 2αAΔT. Por exemplo:
Seja a área A da superfície dividida em N retângulos:
A = A1 + A2 + A3 + ... + AN aonde A1, A2, A3, etc. são as áreas de cada retângulo. Repare que estas áreas não precisam ser iguais. Como cada área dilata-se? Através de ΔA = 2αAΔT. Assim a variação da área total ΔA será dada pela soma das variações de cada área:
ΔA = ΔA1 + ΔA2 + ΔA3 + ... + ΔAN
Vimos que cada elemento segue a equação ΔA = 2αAΔT. Assim
ΔA1 = 2α A1 ΔT.
ΔA2 = 2α A2 ΔT. etc. Então
ΔA = ΔA1 + ΔA2 + ΔA3 + ... + ΔAN se torna
ΔA = 2α A1 ΔT + 2α A2 ΔT + 2αA3 ΔT + ... + 2α AN ΔT
ΔA = 2α(A1+ A2 + A3 + ... + AN) ΔT mas A1+ A2 + AS3 + ... +