conicas

Dep. de Matemática da F.C.T.U.C. - Análise Matemática IV - 2005/2006

1

1

Cónicas

As cónicas são curvas planas obtidas por intersecção de um cone circular recto com um plano. • Se o plano intersecta todas as geratrizes do cone, a curva obtida é uma elipse.
• Se o plano é paralelo apenas a uma geratriz, a curva obtida é uma parábola.
• Se o plano é paralelo a duas geratrizes, a curva obtida é uma hipérbole.

Elipse

Parábola

Hipérbole

Equação Geral das Cónicas (eq. de 2o grau em x e y):
Ax2 + Bxy + Cy 2 + Dx + Ey + F = 0, com A, B, C, D, E, F ∈ IR, sendo A, B e C não simultaneamente nulos.
• Se B 2 − 4AC < 0, (1) é a equação de uma elipse.
• Se B 2 − 4AC = 0, (1) é a equação de uma parábola.
• Se B 2 − 4AC > 0, (1) é a equação de uma hipérbole.

(1)

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1.1

2

Elipse

Elipse é o conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) é constante e maior que a distância entre eles.
Equação Reduzida
2
x2
+ yb2 = 1 (a > b) a2 Equação Reduzida
2
x2
+ yb2 = 1 (b > a) a2 y
1.5

y
1

1

0.5

0.5
-1 -0.5

-1.5

-1 -0.5

1

0.5

1.5

x

0.5

1

x

-0.5

-0.5

-1
-1.5

-1

Focos : (±c, 0) , sendo c2 = a2 − b2
Eixo maior = 2a
Eixo menor = 2b
Distância focal =2c
Vértices : (±a, 0) , (0, ±b)

Focos : (0, ±c) , sendo c2 = b2 − a2
Eixo maior = 2b
Eixo menor = 2a
Distância focal =2c
Vértices : (±a, 0) , (0, ±b)

Equação Reduzida da Elipse centrada em (α, β):
(x − α)2 (y − β)2
+
= 1. a2 b2 y 2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1

-1

0

1

2

3

4

x

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1.2

3

Parábola

Parábola é o conjunto dos pontos do plano equidistantes de um ponto fixo (foco) e de uma recta (directriz), que não contém o ponto.

Equação Reduzida y 2 = 2px (p > 0)

Equação Reduzida y 2 = −2px (p > 0) y y
4

4