Conceito de Derivada e suas Aplicações

Conceito de Derivada e suas Aplicações
Derivada conceitua-se como a taxa de variação instantânea de uma função. Podemos observar alguns exemplos, que apresentam uma função variando e que a medida desta variação se faz necessária em um determinado momento. Como, a determinação da taxa de crescimento de certa população ou a taxa de redução da mortalidade infantil.
Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0, então a derivada de f em x0, denotada por f ’(x0), é dada por:
' ( ) 0 f x =
0
lim® Dx x f x x f x
D
( + D ) − ( ) 0 0 , se este limite existir. Dx representa uma pequena variação em x, próximo de x0, ou seja, tomando
( ) 0 0 x = x + Dx Dx = x − x , a derivada de f em x0 pode também se expressa por
' ( ) 0 f x =
0
limx x® 0
0 ( ) ( ) x x f x f x
−
−
.
Notações: f ' ( x0,) , x x0 dx df =
, ( ) 0 x dx df
.
Interpretação física: a derivada de uma função f em um ponto x0 fornece taxa de variação instantânea de f em x0. Vejamos como isso ocorre:
Suponha que y seja uma função de x, ou seja, y = f(x). Se x variar de um valor x0 até um valor x1, representaremos esta variação de x, que também é chamada de incremento de x, por Dx = x1 - x0, e a variação de y é dada por Dy = f(x1)- f (x0), o que é ilustrado na figura a seguir:
59
O quociente das diferenças, dado por
1 0
1 0 ( ) ( ) x x f x f x x y
−
−
=
D
D
, é dito taxa de variação média de y em relação a x, no intervalo [x0, x1 ]. O limite destas taxas médias de variação, quando Dx Ø 0, é chamado de taxa de variação instantânea de y em relação a x, em x = x0. Assim, temos:
Taxa de variação instantânea = x f x x f x x x f x f x x x x D
+ D −
=
−
−
® D ®
( ) ( ) lim ( ) ( ) lim 0 0
0
1 0
1 0
1 0
.
Porém, ' ( )
( ) ( ) lim 0
0 0
0
f x x f x x f x x =
D
+ D −
D ®
.
Portanto, a taxa de variação instantânea de uma função em um ponto é dada pela sua derivada neste ponto. Exemplos:
1) Suponha que a posição de