classificação de todos os grupos de ordem menor ou igual a 8

Classificação dos grupos de ordem menor ou igual 8. grupos de ordem p Com p=2,3,5,7,11 ou 13
Sendo p- primo, G é grupo cíclico com p elementos e portanto temos G . Logo o grupo é cíclico. grupo de ordem 4
Se G é um grupo de ordem p-primo ou, então o grupo G é abeliano. Neste caso temos que p =2, logo pelo teorema do resto chinês temos, a menos de isomorfismo que G será das seguintes formas:

grupo de ordem 9
Se G é um grupo de ordem p-primo ou, então o grupo G é abeliano. . Neste caso temos que p =3, logo pelo teorema do resto chinês temos, a menos de isomorfismo que G será das seguintes formas:

Grupo de ordem 6

|G|= 2.3

G – abeliano:

Pelo Teorema do Resto Chinês.

A menos de isomorfismo:

G cíclico => abeliano.

G – não abeliano:

1 passo:
Mostrar que G possui 2 geradores.

2 passo:
Estabelecer a relação entre os geradores.

Demonstração do 2 passo.

G = Syl(3)= , ||= 3

– abeliano

G` G – abeliano, absurdo. Logo G`=

, i= 1,2 , j= 0,1,2

o(b)= 2 ,

j=o

J=1

J=2

G = abeliano (absurdo).
Se possuir pelo menos 3 geradores teríamos |G| > 6, absurdo. Logo G possui 2 geradores, a e b, considere: o(a)=3 e o(b)= 2.

Grupo de ordem 8
1° caso:
Suponha que G possui um elemento de ordem 8, logo esse elemento gera todo o grupo, portanto é cíclico. Logo é abeliano.
A menos de isomorfismo, temos Z/8Z
2° caso:
Suponha que nenhum elemento de G-{e} seja de ordem 4, logo todos seus elementos são de ordem 2, consequentemente G é abeliano. Assim pelo teorema de caracterização de grupos abelianos, temos que G é a menos de isomorfismo na forma: .
3° caso:
Suponha que existe elemento de ordem 4 em G e G seja abeliano, então G, a menos de isomorfismo será da forma:
4° caso: G não abeliano:
Necessariamente G terá um elemento de ordem 4
Afirmação 1: G é gerado por 2 elementos a,b, o(a)=4
De fato: Se fosse gerado por 3 elementos G absurdo.
Seja:
O(a)=4 => = 1
O(b)=2,