Civilizaçoes greca romana

Solução da prova da 1 Fase OBMEP 2012 − Nível 3

a

1

QUESTÃO 1 ALTERNATIVA A Basta verificar que após oito giros sucessivos o quadrado menor retorna à sua posição inicial. Como 2012 = 8 × 251 + 4 , após o 2012º giro o quadrado cinza terá dado 251 voltas completas no quadrado maior e mais quatro giros, parando na posição que corresponde à alternativa A. QUESTÃO 2 ALTERNATIVA D O primeiro triângulo da sequência é formado por três palitos. Para n ≥ 2 , o triângulo que ocupa a posição n na sequência é formado acrescentando n triângulos iguais ao primeiro ao triângulo precedente. Logo, o total de palitos utilizados para construir o triângulo que ocupa a posição n na 3n(n + 1) sequência é 3 ⋅1+ 3 ⋅ 2 + +…+ 3n = 3 ⋅(1+ 2 +…+ n) = . Para saber em qual triângulo foram 2 3n(n + 1) usados 135 palitos, devemos resolver a equação = 135 , ou seja, n(n + 1) = 90 . Por inspeção, 2 vemos que a raiz positiva dessa equação é n = 9 ; logo o triângulo que estamos procurando é o nono triângulo da sequência, cujo lado tem 9 palitos. QUESTÃO 3 ALTERNATIVA B Apagando alguns números a mais, obtemos a figura acima e notamos o seguinte padrão: os números que não são apagados são 1, 2 e os da forma 3n + 1 para n ≥ 1. Para verificar que esse padrão se estende até 1000, distribuímos os números de 1 a 1000 na seguinte tabela: n 0 1 2 3 4 332 333

3n + 1 1 4 7 10 13
997 1000

3n + 2 2 5 8 11 14
998

3(n + 1) 3 6 9 12 15 999

A primeira coluna lista os números que deixam resto 1 quando divididos por 3, isto é, os números da forma 3n + 1; analogamente, a segunda coluna lista os números que deixam resto 2 quando divididos por 3 e a terceira lista os múltiplos de 3; as casas de cor cinza indicam número apagados. O padrão indicado até n = 4 se repete até o final da tabela. De fato, para n = 5 , o número da primeira coluna só será apagado caso ele seja soma de dois números não apagados anteriormente; mas isso não pode acontecer, pois • a soma de um número anterior da primeira coluna