Circuitos Oscilantes

EA-513 – Circuitos Elétricos I

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Capítulo 10
Excitação Senoidal e Fasores

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10.1 Propriedades das Senóides:
Onda senoidal:

Vm

v(t ) = Vm sen (ωt ) π/ω Amplitude = Vm

-Vm

Freqüência angular = ω [rad/s]
Senóide é uma função periódica: v(t + T ) = v(t )

Período: T = 2π/ω
Freqüência: f = 1/T = ω/2π
Expressão geral: v(t ) = Vm sen (ωt + φ ) onde φ é o ângulo de fase.

2π/ω

t

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Curva de uma senóide defasada de φ radianos:

v(t ) = Vm sen (ωt + φ ) v(t ) = Vm sen (ωt )

φ/ω

π/ω

Note que:

π

cos ωt −  = sen (ωt )
2
 π  sen ωt +  = cos(ωt )
2


2π/ω

t

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Exemplo: Determinação de quanto uma senóide antecede ou segue outra da mesma freqüência. v1 = 4 cos(ωt + 30°)

v2 = −2 sen (ωt + 18°)

v2 = 2 sen (ωt + 18° + 180°) v2 = 2 cos(ωt + 18° + 180° − 90°)

v2 = 2 cos(ωt + 108°)
Portanto, v1 antecede v2 de 30º − 108º = −78º, ou v1 está defasada em relação a v2 de 78º.
Soma de uma senóide com uma cossenóide de mesma freqüência:
2

A

A cos(ωt ) + B sen (ωt ) = A + B  cos(ωt ) +
2
2
 A +B

2

 sen (ωt )
2
2

A +B

B

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B

A2 + B 2 θ A

A cos(ωt ) + B sen (ωt ) = A2 + B 2 [cos(ωt ) cos(θ ) + sen (ωt )sen (θ )]

ou

A cos(ωt ) + B sen (ωt ) =

A2 + B 2 [cos(ωt − θ)]

 B θ = tan −1 
 A

Obs.:

cos(a)cos(b) + sen(a)sen(b) = cos(a − b) cos(a)cos(b) − sen(a)sen(b) = cos(a + b)

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Exemplo:

− 5 cos(3t ) + 12 sen (3t ) =

(− 5)2 + 122 [cos(3t − θ)]

 12  θ = tan −1  = 112,6°
 − 5
− 5 cos(3t ) + 12 sen (3t ) = 13[cos(3t − 112,6°)]

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10.2 Exemplo de um Circuito RL
Encontrar if .