Capitulo 8

Capítulo 8 – Equações Diferenciais Parciais
Equação de Onda Transversal em Uma Dimensão
Seja uma onda se propagando em 1 dimensão na direção . A deflexão dessa onda é descrita por uma função de 2 variáveis
. Por exemplo, para uma corda de densidade constante e tensão , pode-se demonstrar que essa função satisfaz à equação de onda

Onde

é a velocidade de propagação da onda na corda. A solução geral

de (1) pode ser escrita

onde

são funções de 1 variável,

, respectivamente.

É fácil verificar que, por exemplo,
, temos

é solução de (1). Chamando

Ou seja,

O mesmo raciocínio se aplica a

.

O problema é que, muitas vezes, a forma (2) é de pouca utilidade perante as condições de contorno ou fronteira típicas para uma corda de comprimento , com suas 2 extremidades presas a paredes

E a condições iniciais arbitrárias

1

O Método da Separação das Variáveis
Como as condições de contorno envolvem apenas espaço e as condições iniciais envolvem apenas tempo, podemos pensar em separar variáveis, isto é,

Então

Substituindo em (1)

Dividindo os 2 membros da expressão acima por

Onde
(5), temos

, temos

, já que o 1º.membro (2º.membro) só depende de

( ). De

Cujas soluções são

As equações (7a) e (7c) são incompatíveis com as condições de contorno (3a).
De (7b), temos

Ou seja,

Observe que caso (7c)

, pois

e

(se

, recaindo no

2

Essas soluções discretas são chamadas de autovalores

E os seus autovetores correspondentes

Que satisfazem a equação de autovalores e autovetores

De (5) teremos,

Com solução,

Portanto, como a equação diferencial é linear, vale a superposição

Onde renomeamos as condições de contorno:
A condição inicial

e

. De (12) vemos imediatamente que estão satisfeitas.
, fica

Multiplicando os 2 membros da expressão acima por

, e integrando,

temos

Mas,

3

Logo,

Para a condição inicial

, temos que derivar parcialmente em

relação a a equação (12)

Que em

fica

Multiplicando ambos os membros por

e integrando

Ou

A Equação de Laplace
Um