Cap Tulo 1 Exemplos De Aplica Es De Sistemas Lineares 1

Capítulo 1 Exemplos de aplicações de sistemas lineares 1.1 Introdução Um sistema linear ´e um conjunto de m equações, com n incógnitas x1, x2, ..., xn, da seguinte forma: a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2 . . . am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm Os números ai são os coeficientes do sistema linear, e são fornecidos no problema. Os bi ’s s˜ao chamados de termos independentes. Aqui estudaremos apenas os sistemas lineares que tenham tantas equações quanto incógnitas, isto ´e, m = n. Trataremos neste Capítulo de alguns exemplos onde se aplicam sistemas lineares, no Apêndice A discutimos um pouco da teoria envolvida (por exemplo, a relação entre o determinante dos coeficientes do sistema e a existência e unicidade de soluções), no Capítulo 2 falaremos de sua solução pelo Método de Escalonamento e no Capítulo 3, finalmente, exporemos dois métodos iterativos de resolução dos sistemas lineares (que, infelizmente, só funcionam em certos casos). 1.2 Provetas Considere o seguinte problema. Quatro tipos de materiais particulados estão distribuídos por quatro provetas, e em cada proveta os materiais são dispostos em camadas, não misturadas, de modo que seja possível medir facilmente o volume de cada material em cada uma delas. Dado que possamos medir a massa total de cada proveta, e que saibamos a massa da proveta vazia, queremos calcular a densidade de cada um dos materiais. 11 12 CAPÍTULO 1. EXEMPLOS DE APLICACÕES DE SISTEMAS LINEARES ˜ Para colocar o problema em termos matemáticos, chamemos os materiais de A, B, C e D, e suas densidades respectivas de ρA, ρB, ρC e ρD. Essas s˜ao as inc´ognitas do problema, n´umeros que queremos descobrir. Entre os dados dispon´ıveis para resolvˆe-lo est˜ao a massa conjunta dos quatro materiais em cada uma das provetas (numeradas de 1 a 4), que chamaremos de m1, m2, m3 e m4, j´a descontada a tara das provetas.