Calcuo

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO ESPÍRITO SANTO
Função Tangente

Como a tangente não existe para arcos da forma (k+1)/2 onde k está em Z, estaremos considerando o conjunto dos números reais diferentes destes valores. Definimos a função tangente como a relação que associa a este x real, a tangente de x, denotada por tan(x). f(x) = tan(x) = sen(x) cos(x)
Segue uma tabela com valores de f no intervalo [0,2]. x 0
/4
/2
3 /4

5/4
3/2
7/4
2
y
0
1 não existe
-1
0
1
não existe
-1
0

Gráfico: O segmento AT, mede tan(x).

Pelo gráfico, notamos que quando a medida do arco AM está próximo de /2 (ou de -/2), a função tangente cresce muito rapidamente, pois a reta que passa por OM tem coeficiente angular cada vez maior vai se tornando cada vez mais vertical e a interseção com a reta t vai ficando mais distante do eixo OX.

Propriedades
1. Domínio: Como a função cosseno se anula para arcos da forma /2+k, onde k em Z, temos
Dom(tan)={x em R: x diferente de /2+k}
2. Imagem: O conjunto imagem da função tangente é o conjunto dos números reais, assim I=R.
3. Periodicidade A função é periódica e seu período é
Para todo x em R, sendo x diferente de /2+k, onde k pertence a Z tan(x)=tan(x+)=tan(x+2)=...=tan(x+k) Justificativa: Pela fórmula da tangente da soma de dois arcos, temos tan(x+k) = tan(x)+tan(k) 1-tan(x).tan(k)
=
tan(x)+0

1-tan(x).0
= tan(x)
A função tangente é periódica de período fundamental T=.
Podemos completar o gráfico da função tangente, repetindo os valores da tabela na mesma ordem em que se apresentam.

4. Sinal:
Intervalo
[0,/2]
[/2,]
[,3/2]
[3/2,2]
Função tangente positiva negativa positiva negativa
5. Monotonicidade: A tangente é uma função crescente, exceto nos pontos x=k/2, k inteiro, onde a função não está definida.
6. Limitação: A função tangente não é limitada, pois quando o ângulo se aproxima de (2k+1)/2, a função cresce (ou decresce) sem controle.
7. Simetria: A