Calculo I

Universidade Federal de Pernambuco – UFPE
Aluno: Fábio de Sousa Coêlho
Engenharia Civil – 1° Período – Cálculo I
Prof°: Rogerio Soares

Projeto Aplicado

Onde um piloto deveria iniciar a descida?

Um caminho de aproximação para uma aeronave pousando é mostrado na figura ao lado e ele satisfaz as seguintes condições:
(i) A altitude de cruzeiro é h quando a descida começa a uma distância horizontal l do ponto de contato na origem.
(ii) O piloto deve manter uma velocidade horizontal constante v em toda a descida.
(iii) O valor absoluto da aceleração vertical não deve exceder uma constante k (que é muito menor que a aceleração da gravidade).
1) Encontre um polinômio cúbico P(x) = ax³ + bx² + cx + d que satisfaça a condição (i) impondo condições adequadas a P(x) e P’(x) no início da descida e no ponto de contato.

2) Use as condições (ii) e (iii) para mostrar que

3) Suponha que uma companhia aérea decida não permitir que a aceleração vertical do avião exceda k = 1385 km/h². Se a altitude de cruzeiro do avião for 11000 m e a velocidade for 480 km/h², a que distância do aeroporto o piloto deveria começar a descer?
4) Trace o caminho de aproximação se as condições dadas no Problema 3 forem satisfeitas.

Respostas

1) *deve-se encontrar valores para a, b, c e d que satisfaçam a trajetória do avião:
P(x) = ax³ + bx² + cx + d
P(0) = a.0³ + b.0² + c.0 + d = 0 (pois em x= 0, y= 0 de acordo com o gráfico) d= 0

*no início da trajetória (x = l) o coeficiente angular é zero pois a reta tangente é paralela à horizontal x. Da mesma forma que no final da trajetória (x= 0) a reta tangente também é paralela à x, ou seja, o coeficiente angular também é zero. Desta forma:
P’(x) = 3ax² + 2bx + c
P’(0) = 3.0² + 2b.0 + c = 0 c = 0

*agora, substitui-se c e d nas funções pelos seus respectivos valores para encontrar os que faltam (a e b):
P(x) = ax³ + bx²
P’(x) = 3ax² + 2bx

Quando x = l, y = h, assim:
P(l) = h al³ + bl² = h

P’(l) = 0
3al² + 2bl = 0
3al² = -2bl a =

se al³ + bl²