Calculo Vetorial - GA
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
CAPÍTULO 4
PRODUTOS
Nos
capítulos
anteriores
geométricas também
os
conceitos
chamadas de
foram
introduzidos
Espaços Vetorias:
para
o Plano
duas
regiões
Geométrico,
representado pelo ℜ2 (sistema de coordenadas cartesianas no plano) e o Espaço
Geométrico, representado pelo ℜ3 (sistema de coordenadas cartesianas no espaço).
No entanto, os próximos conceitos que serão introduzidos só tem significado geométrico para vetores no Espaço (ℜ3). Apesar de alguns serem válidos também para vetores no plano, mas nem todos. Portanto, no que segue estaremos considerando somente vetores no espaço. Oportunamente, quando for o caso, voltaremos a considerar os vetores definidos no plano geométrico.
1 Produto Escalar
Definição: Sejam os vetores u e v . O produto escalar entre esses vetores, denotado por u ⋅ v , é um número real determinado por u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cos θ , onde 0 ≤ θ ≤ π é o ângulo entre u e v .
Propriedades
1) u ⋅ v = 0 se, e somente se, um deles for o vetor nulo ou se u e v são ortogonais, ou seja, θ = 90o.
2) Comutativa: u ⋅ v = v ⋅ u
3) u ⋅ u = | u |2
4) (mu) ⋅ (nv) = (m ⋅ n) ⋅ (u ⋅ v), ∀m, n ∈ ℜ
5) (u + v) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w
1.1 Expressão Cartesiana do Produto Escalar
Sejam u = x1 i + y1 j + z1k e v = x2 i + y2 j + z2k , dois vetores do ℜ3. Por definição temos: u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ . Pela lei dos co-senos temos:
cos θ =
| u + v |2 − | u |2 − | v |2
. Substituindo, temos:
2 | u || v |
37
u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅
| u + v |2 − | u |2 − | v |2
| u + v |2 − | u |2 − | v |2
⇒ u⋅v =
⇒
2 | u || v |
2
u⋅v =
2
2
2
(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 + (z1 + z2 )2 − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
2
2
2 ⇒
2
u⋅v =
2
2
2
2
2
2
(x1 + 2x1x2 + x2 ) + (y1 + 2y1y2 + y2 ) + (z1 + 2z1z2 + z2 ) − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
2
2
2
2
2
2
2
u⋅v =
2
2
2
2
2
2
(x1 + y1 + z1 ) + (x2 + y2 + z2 )