Calculo Vetorial - GA

3476 palavras 14 páginas
36

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

CAPÍTULO 4
PRODUTOS

Nos

capítulos

anteriores

geométricas também

os

conceitos

chamadas de

foram

introduzidos

Espaços Vetorias:

para

o Plano

duas

regiões

Geométrico,

representado pelo ℜ2 (sistema de coordenadas cartesianas no plano) e o Espaço
Geométrico, representado pelo ℜ3 (sistema de coordenadas cartesianas no espaço).
No entanto, os próximos conceitos que serão introduzidos só tem significado geométrico para vetores no Espaço (ℜ3). Apesar de alguns serem válidos também para vetores no plano, mas nem todos. Portanto, no que segue estaremos considerando somente vetores no espaço. Oportunamente, quando for o caso, voltaremos a considerar os vetores definidos no plano geométrico.

1 Produto Escalar

Definição: Sejam os vetores u e v . O produto escalar entre esses vetores, denotado por u ⋅ v , é um número real determinado por u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅ cos θ , onde 0 ≤ θ ≤ π é o ângulo entre u e v .

Propriedades
1) u ⋅ v = 0 se, e somente se, um deles for o vetor nulo ou se u e v são ortogonais, ou seja, θ = 90o.
2) Comutativa: u ⋅ v = v ⋅ u
3) u ⋅ u = | u |2
4) (mu) ⋅ (nv) = (m ⋅ n) ⋅ (u ⋅ v), ∀m, n ∈ ℜ
5) (u + v) ⋅ w = u ⋅ w + v ⋅ w

1.1 Expressão Cartesiana do Produto Escalar
Sejam u = x1 i + y1 j + z1k e v = x2 i + y2 j + z2k , dois vetores do ℜ3. Por definição temos: u ⋅ v = | u | ⋅ | v | ⋅ cos θ . Pela lei dos co-senos temos:

cos θ =

| u + v |2 − | u |2 − | v |2
. Substituindo, temos:
2 | u || v |

37

u ⋅ v =| u | ⋅ | v | ⋅

| u + v |2 − | u |2 − | v |2
| u + v |2 − | u |2 − | v |2
⇒ u⋅v =

2 | u || v |
2

u⋅v =

2
2
2
(x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 + (z1 + z2 )2 − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
2
2
2 ⇒
2

u⋅v =

2
2
2
2
2
2
(x1 + 2x1x2 + x2 ) + (y1 + 2y1y2 + y2 ) + (z1 + 2z1z2 + z2 ) − (x1 + y1 + z1 ) − (x2 + y2 + z2 )
2
2
2
2
2
2
2

u⋅v =

2
2
2
2
2
2
(x1 + y1 + z1 ) + (x2 + y2 + z2 )

Relacionados

  • Pratica descritiva
    4160 palavras | 17 páginas
  • Engenharia do Petróleo
    2680 palavras | 11 páginas
  • Safyra
    2180 palavras | 9 páginas
  • Eletromag
    1432 palavras | 6 páginas
  • Teste
    628 palavras | 3 páginas
  • james matematico
    3256 palavras | 14 páginas
  • Engenharia
    524 palavras | 3 páginas
  • Trabalho de quimíca - Reações em um Alto-Forno
    2309 palavras | 10 páginas
  • Apostila Física Objetivo
    18850 palavras | 76 páginas
  • Libguagem de maquina
    1834 palavras | 8 páginas