Calculo 3

Capítulo III – Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem

Uma equação da forma (*) é dita equação diferencial ordinária de 1ª ordem linear; nela, P(x) e Q(x) representam funções só da variável x, ou são constantes, enquanto que y é uma função implícita de x; com isto, existe a derivada de y em relação a x, representada por dy/dx.
Exemplos: 1º) y’ + y.sen(x) = 4x³ (é uma EDL) 2º) dy/dx + yln(x² -1) = sen(y) (não é uma EDL) 3º) (y’)² - y tg(x) = (não é uma EDL) 4º) dy/dx + = x³ - 4x² + 7 (não é uma EDL) 5º) y’ + ycos(xy) = 42 (não é uma EDL)

Solução de uma EDL da forma (*) (I)
Verificamos que resolver a integral do 2º membro é relativamente fácil, sendo que o mesmo não se pode afirmar a respeito da integral que aparece no 1º membro da equação (I). Entretanto, se considerarmos a expressão: (II) onde y é função implícita de x, existindo, pois, a derivada y’ = dy/dx, e se derivarmos aquela expressão (II), em relação à variável x, obteremos: (III) Portanto, se derivarmos a expressão (II), chegaremos na expressão (III) e, por conseguinte, se integrarmos a expressão (III), chegaremos na expressão (II), já que derivação e integração são operações inversas uma da outra. Notamos, também, que na expressão (III), o conteúdo que está entre parênteses, ao final, é igual à função integranda do 1º membro da expressão (I). Assim, se multiplicarmos a expressão (*), ou a(I), por , o seu 1º membro ficará igual à expressão (III), cuja integral é a expressão(II):

(dessa última equação, sairá a solução geral)

Exemplo: Solução:
(sol. geral)

Exercícios
1º) dy/dx + 2xy = 0 Sol.:
2º) y = (x² - 4x + C)(x – 2)
3º) y = t³/2 + 3t² - 2t[ln(t)] + Kt
4º) y’ + ysen(t) = 0 y =
5º) y’ + 2ty = t, com y(0) = 2,5 y