Calculo 3

Introdução:

Este trabalho aborda uma introdução às equações lineares de segunda ordem, definindo-as e lembrando sua importância no estudo do cálculo. Discute sobre os problemas de valores inicias e de contorno e o que difere um do outro. Por fim, define equações lineares não homogêneas e o método dos coeficientes indeterminados.

Equações Lineares de 2ª Ordem:

Equações diferenciais surgem em muitas áreas da ciência e tecnologia. Elas nos informam como a variação de uma grandeza afeta outras grandezas relacionadas. Isto é ilustrado na mecânica clássica, onde o movimento de um corpo é descrita por sua posição e velocidade, como o valor de tempo varia.
As principais quantidades usadas para descrever o movimento de um objecto são posição(s), da velocidade(v), e aceleração (a). Uma vez que a velocidade é o tempo derivado da posição, e a aceleração é a derivada do tempo da velocidade, a aceleração é a derivada do tempo da segunda posição. Portanto, a posição da função s(t) para um objecto em movimento pode ser determinada pela escrita Segunda Lei de Newton.
F=m.a
Logo, a 2ª lei de Newton é na verdade uma equação diferencial de segunda ordem: F(r,t)=md²rdt²
Equações diferenciais lineares são equações diferenciais que têm soluções que podem ser adicionadas em conjunto para formar outras soluções. Eles podem ser simples ou parciais. As soluções para as equações lineares formam um espaço vectorial (não é o caso com as equações não-lineares diferenciais).
Uma equação diferencial de segunda ordem apresenta a forma geral: d²y(x)dx²=f(x,y, dydx)
É linear se puder ser escrita como:
Pxy''+Fxy'+Gxy=R(x)
Onde P(x)≠0. Se P(x)=0 a equação não teria o segundo termo derivavel, logo, não seria de segunda ordem. Se P(x)≠0 então ambos os lados da equação podem ser divididos por P(x) e o resultado da equação poderá ser escrito da seguinte forma: y''+f(x)y'+g(x)y=r(x) Onde: f(x)=F(x)P(x),g(x)=G(x)P(x),r(x)=R(x)P(x) No caso de ser uma equação homogênea,