Calculo 1

Segue abaixo alguns exemplos de otimização fazendo uso de derivadas. Vejam que para encontrarmos os valores de máximo ou mínimo, primeiramente devemos encontrar a função que nos leva à solução do problema, calcular sua derivada, obtendo uma função dependendo somente de uma variável. Em seguida, igualamos a zero, obtendo uma equação. Agora é só calcular seu valor e obteremos o valor de máximo ou de mínimo.

Exemplo 1: Dado um cone de geratriz igual a 5cm, determinar suas dimensões de modo que se tenha o maio volume possível.

Primeiramente, vamos esboçar um cone genérico, destacando o triângulo retângulo:

Figura1.1[Figura 1-1]

Lembremos que o volume de um cone é dado por:

clip_image002

clip_image004

[Veja a demonstração aqui]

Dos dados fornecidos no enunciado do problema, temos que:

clip_image002[4]

clip_image004[4]

clip_image006

Substituímos o valor de r da (1.2) na fórmula do volume de cone:

clip_image008

clip_image010

clip_image012

Agora, vamos calcular a deriva da função V(h):

clip_image016

clip_image018

Igualamos a zero para obtermos uma equação que nos leva ao valor de máximo:

clip_image020

clip_image022

clip_image024

clip_image026

clip_image028

Já encontramos a altura h do cone. Para encontrarmos o raio r de sua base, substituímos o valor de h na (1.1):

clip_image030

clip_image032

clip_image034

clip_image036

clip_image038

clip_image040

clip_image002[4]

O cone que possui geratriz igual a 5cm e que possui o maior volume é o de medidas:

clip_image002[8]

clip_image046

Exemplo 2: Deseja-se confeccionar uma trave para um campo de futebol com uma viga de 18m de comprimento. Encontre as dimensões para que a área do gol seja máxima.

Vamos esboçar um desenho de uma trave genérica:

Figura2-1b[Figura 2-1]

Pelos dados fornecidos pelo enunciado do problema, temos que:

clip_image002[6]

clip_image004[6]

A área do gol é dada pela fórmula da área do