calculo 1

CAPÍTULO 8
Exercícios 8.1
4. a) Para todo x ⑀ Dg, g(x) ϭ y Ǟ x ϭ f(y). Então, para todo x ⑀ Dg, f(g(x)) ϭ f(y) ϭ x.

p p
5. O domínio da função f(x) ϭ arc sen x é o intervalo [Ϫ 1, 1] e a imagem ÈϪ , ù .
Í 2 2ú
Î
û p p
Pelo fato de sen x ser estritamente crescente em ÈϪ , ù, resulta que f(x) ϭ arc sen x é
Í
ú
Î 2 2û estritamente crescente em [Ϫ 1, 1] . Pelo Exercício 12, f(x) ϭ arc sen x é contínua.
10. Sejam r e s dois reais quaisquer, com r Ͻ s. De er Ͻ es e eϪ r Ͼ eϪ s segue

e r Ϫ eϪr e s Ϫ eϪs
Ͻ
, logo, f é estritamente crescente e, portanto, inversível. Sendo
2
2 g sua inversa, y ϭ g(x) ¤ x ϭ f(y). Temos

x ϭ f ( y) ¤ x ϭ

2x ± 4x2 ϩ 4 e y Ϫ eϪy
.
¤ (e y )2 Ϫ 2 xe y Ϫ 1 ϭ 0 ¤ e y ϭ
2
2

Pelo fato de ey Ͼ 0 e

4 x 2 ϩ 4 Ͼ 2 x, o sinal de menos que aparece no numerador da

última fração deve ser descartado. Assim, e y ϭ x ϩ x 2 ϩ 1 e, portanto,

(

)

y ϭ ln x ϩ x 2 ϩ 1 .

(

)

Logo, g( x ) ϭ ln x ϩ x 2 ϩ 1 , x real, é a função inversa da função dada.
11. Como y ϭ x e y ϭ ex são estritamente crescentes, segue que f é também estritamente crescente, logo, inversível.
12. Sejam I e J o domínio e a imagem de f. Seja p um ponto de I . Pelo fato de f ser estritamente crescente, se p não for extremidade de I, f(p) não será, também, extremidade de J. Por outro lado, se p for extremidade de I, f(p) será, também, extremidade de J.
Suponhamos que p não seja extremidade de I; existirá, então, um r Ͼ 0 tal que f(p) Ϫ r e f(p) ϩ r pertencerão a J. Tomando-se ␧ Ͼ 0, com ␧ Ͻ r, f(p) Ϫ ␧ e f(p) ϩ ␧ também pertencerão a J e, portanto, existirão p1 e p2 em I tais que f(p1) ϭ f(p) Ϫ ␧ e f(p2) ϭ f(p) ϩ ␧; sendo f estritamente crescente, para todo x , p1 Ͻ x Ͻ p2, teremos f(p) Ϫ ␧ Ͻ f(x) Ͻ f(p) ϩ ␧, logo, f é contínua em p. Suponhamos que p seja extremidade, digamos, superior, de I.
Nesta condição, existirá r Ͼ 0 tal que f(p) Ϫ r pertença a J. Então, para todo ␧ Ͼ 0, com

␧ Ͻ r, f(p) Ϫ ␧ também pertencerá a J, logo,