calculo 02

Lista de Exercícios – Aplicações de Integrais

Exercício 2: Volume de um toro (pneu). O disco

ÁREAS

x 2  y 2  a 2 gira em torno do eixo x  b para b  a . O sólido gerado é chamado de toro.

1) Calcular a área determinada pelas curvas de equações y = x2 – 3x – 4 ; y = 0 ; x = 0 e x =
5.
2) Calcular a área compreendida entre a curva y
= x2, o eixo x, e as ordenadas correspondentes às abcissas x = 0 e x = 2.
3) Calcule a área compreendida entre os gráficos das funções y 

x ; y = 0 e a reta x = 4

Determine o seu volume.
Dado: A área de um semicírculo de raio a é:



a

a

1 a 2  y 2 dy   a 2
2

Exercício 3:
Um projeto de tanque de combustível de um helicóptero tem a forma de um sólido de revolução gerado pela rotação em torno

y  1

x2
16

4) Calcule a área compreendida entre a curva y =
5x + 1, o eixo x e as retas x = – 3 e x = 1.

do eixo-y

5) Calcular a área entre as curvas y = – x2 + 4 e y
= 1 no intervalo [–1, 1].

 4  x  4 (dimensões em metros). Qual a capacidade em litros deste tanque?

6) Calcular a área entre as curvas y = x2 – 4 e y
=x–3

VOLUMES

Exercício 1: Determine o volume dos sólidos de revolução gerados pela rotação da região do plano-xy indicada em torno do eixo indicado:
a) Região: y  x , y
Rotação em torno do eixo-x .
2

b) Região:
,

y0

y  cos x e x0 .

0

para

e

x2 .

0  x 

Região do primeiro quadrante limitada

y  2 , inferiormente por y  sec x tan x e a esquerda pela reta

superiormente por

x  0 . Rotação e torno da reta y  2 .

y  x 1
d) Região: rotação em torno do eixo-x .
2

e)

e

y  ex

e

b) Região:

2

,

x0

y0

,

y x

y 1 .

,

Rotação

em torno do eixo-x .





c) Região: x  12 y  y e x0 .
Rotação em torno do eixo-x .
Exercício 5: Calcule o volume do sólido obtido com a rotação da região limitada por y  x e
2

3

y  x2
Rotação em torno