C3 Lista 5 12015

˜ SUPERIOR DE BRAS´ILIA
CENTRO DE EDUCAC
¸ AO
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˜ SUPERIOR DE BRAS´ILIA
CENTRO UNIVERSITARIO INSTITUTO DE EDUCAC
¸ AO

Curso: Engenharia Civil
Disciplina: C´alculo 3
Matr´ıcula:

Aluno(a):

5a Lista de Exerc´ıcios
Fluxo
1. Encontre o fluxo do campo F(x, y, z) = −i + 2j + 3k atrav´es da superf´ıcie S, z = 0,
0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 3, no sentido k
2. Encontre o fluxo do campo F atrav´es da por¸c˜ao da esfera x2 + y 2 + z 2 = a2 no primeiro octante no sentido oposto `a origem.
a) F(x, y, z) = zk
b) F(x, y, z) = yi − xj + k
c) F(x, y, z) = xi + yj + zk
Teorema de Stokes
3. Utilize o teorema de Stokes para calcular a circula¸c˜ao do campo F ao redor da curva C no sentido indicado.
a) F = x2 i + 2xj + z 2 k
C: A elipse 4x2 + y 2 = 4 no plano xy, no sentido anti-hor´ario quando vista de cima.
b) F = yi + xzj + x2 k
C: A fronteira do triangulo cortado a partir do plano x + y + z = 1 pelo primeiro octante, no sentido anti-hor´ario quando vista de cima.
c) F = (y 2 + z 2 )i + (x2 + z 2 )j + (x2 + y 2 )k
C: o quadrado limitado pelas retas x = ±1 e y = ±1 no plano xy, no sentido antihor´ario quando vista de cima.

4. Utilize o teorema de Stokes para calcular o fluxo do rotacional do campo F atrav´es da superf´ıcie S na dire¸c˜ao da normal n exterior.
a) F = 2zi + 3xj + 5yk
S : r(r, θ) = (r cos(θ))i + (r sen (θ))j + (4 − r 2 )k, 0 ≤ r ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π
b) F = x2 yi + 2y 3zj + 3zk
S : r(r, θ) = (r cos(θ))i + (r sen (θ))j + rk, 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π

5. Use a identidade ∇ × ∇f = 0 e o teorema de Stokes para mostrar que as circula¸c˜oes dos campos a seguir ao redor da borda de qualquer superf´ıcie orient´avel suave no espa¸co s˜ao zero. a) F = 2xi + 2yj + 2zk
b) F = ∇(xy 2 z 3 )
c) F = ∇ × (xi + yj + zk)
d) F = ∇f
Teorema da divergˆ encia 6. Use o teorema da divergˆencia para encontrar o fluxo exterior de F atrav´es da fronteira da regi˜ao D.
a) F = (y − x)i + (z − y)j + (y − x)k
D: O cubo limitado pelos planos x = ±1, y = ±1 e z = ±1.
b) F = x2 i − 2xyj + 3xzk
D: A regi˜ao cortada no