aula

xemplo 1: Crescimento limitado de população

O número de bactérias em uma cultura é observado e cresce a uma razão proporcional ao número de bactérias presente. No início do experimento existem 10000 bactérias e três horas depois existem 500000.

Quantas bactérias devem existir depois de um dia? Qual foi o tempo necessário para dobrar o número de bactérias?

Solução: Inicialmente definimos as variáveis do problema e fornecemos alguns dados relevantes.

Seja

$ t $ = tempo desde o início do experimento (em horas).

$ y(t) $ = o número de bactérias no tempo t.

Dados: O número inicial de bactérias (onde consideramos $ t=0 $ ) é:
$ y(0) = y_0 = 10,000 $

A taxa de variação do número de bactérias, isto é, a razão de crescimento será $ dy/dt $ , que é proporcional ao número de bactérias, o que significa que:

[ frac{dy}{dt} = k y. ]

A solução desta equação diferencial é

[ y(t) = y_o e^{kt} ]

e queremos saber o valor da constante k, uma vez que conhecemos o valor inicial $ y_o $ . Assim

[ y(t) = 10,000 e^{kt} ]

Para encontrarmos $ k $ devemos realizar alguns cálculos. Usamos a informação que depois de três horas, $ t=3, $ existem 500000 bactérias, ou seja, fazendo $ t=3 $ teremos

[ y(3) = 10,000 e^{k3}= 500,000 ]

Cancelando o fator de 10000 e escrevendo o expoente obtemos

[ e^{3k}= 50 ]

Devemos usar esta relação para encontrar o valor de $ k $ usando um pequeno "truque". Recorde que o logaritmo naturas é o inverso da função exponencial. Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados, obtendo:

[ ln(e^{3k})= ln (50) ~~{rm ~so~}~~~ 3k = ln(50),~~~~k =ln(50)/3 approx 3.91/3 = 1.3~ {rm per~hour} ]

Assim, encontramos a constante $ k=1.3 $ . Encontramos que a solução da equação diferencial que também satisfaz o valor inicial é a função.

[ y(t) = 10,000 e^{1.3 t} ]

O gráfico da função é mostrado acma. A unidade no eixo y corresponde a múltiplos de